Existe uma fórmula para calcular a mediana?

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Existe um equivalente da fórmula média:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

para mediana?

median definition

— Craig
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Se você definir $O_1, O_2, \ldots, O_N$ como a versão classificada dos dados originais $X_1, X_2, \ldots, X_N$ , a mediana será definida como:

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Sem solicitar seus dados, você pode usar a definição da mediana geométrica para definir a mediana em uma dimensão:

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Observe que isso não define necessariamente uma mediana única quando há um número par de pontos; por exemplo, qualquer número otimiza o objetivo com . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— josliber
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O formulário para ainda não é a única resposta - apenas uma convenção usada. Qualquer valor entre e pode ser razoavelmente chamado de "mediano"

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— probabilityislogic

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@probabilityislogic Com certeza. Eu adicionei a definição média geométrica, que não é necessariamente exclusivo para mesmo.

N

$N$

— josliber

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Uma maneira alternativa de expressar a média é a estimativa dos "mínimos quadrados":

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Escolher como a média fornece o menor valor da soma dos erros quadráticos. $m$

Agora a mediana pode ser expressa como a estimativa dos "desvios mínimos absolutos":

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Escolher como a mediana fornece o menor valor da soma dos erros absolutos. $m$

— probabilityislogic
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A mediana é o valor correspondente ao meio quantil, ou seja, metade dos valores é maior, metade é menor (perdoe-me por ignorar casos com igualdade ou quando o conjunto é par ...). Como tal, dado que o pdf do conjunto de dados é conhecido, a distribuição cumulativa é facilmente avaliada. Observando esta função, então $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Tomemos, por exemplo, o caso dos ângulos neste método usado neste artigo de revisão para equalização do histograma. O painel inferior esquerdo mostra o pdf de ângulos em um conjunto de imagens naturais. é a distribuição cumulativa e a mediana é o valor de correspondente ao valor , que é aproximadamente nesse caso. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
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