Provando a transformação integral de probabilidade sem assumir que o CDF está aumentando estritamente

Eu sei que a prova da transformação integral de probabilidade foi dada várias vezes neste site. No entanto, as provas que encontrei usam a hipótese de que o CDF está aumentando estritamente (juntas, é claro, com a hipótese de que é uma variável aleatória contínua). Eu sei que, na verdade, a única hipótese necessária é que é uma variável aleatória contínua e não é necessária uma monotonicidade estrita. Você pode me mostrar como? $F_X(x)$ $X$ $X$

Como já estou aqui, aproveito a oportunidade para solicitar uma aplicação simples da transformação integral de probabilidade :) você pode me mostrar que, se possui CDF e é o truncamento de para , então é distribuído como onde ? $X$ $F_X(x)$ $Y$ $X$ $[a,b]$ $Y$ $F_X^{-1}(U)$ $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$

probability cdf

— DeltaIV
fonte

se você fosse tão gentil, na prova do seu link, poderia apontar para onde o requisito de que precisa aumentar estritamente. Obrigado!

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— Erosennin

@Erosennin, a prova assume a existência do inverso de .

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— DeltaIV 29/04

Obrigado! Mas existe um CDF que não está aumentando estritamente? Você provavelmente já pensou nisso, embora ...

— Erosennin

Claro que existe. A variável aleatória cujo pdf é igual a 1/2 em [0,0,5], 0 em [0,5,1] e 1/2 em [1,1,5], possui um CDF que é contínuo, mas não está aumentando estritamente.

— DeltaIV 29/04

A parte mais difícil é lidar com a parte não absolutamente contínua de . A idéia é esclarecida considerando o caso extremo de discreto . Em stats.stackexchange.com/a/36246/919 , forneço um algoritmo que implementa a transformação integral de probabilidade nesse caso (além de fornecer código de trabalho). Emular esse algoritmo para

arbitrário responderá à sua pergunta.

F

$F$

F

$F$

F

$F$

— whuber

No link da Wikipedia fornecido pelo OP, a transformação integral de probabilidade no caso univariado é dada da seguinte maneira

Suponha-se que uma variável aleatória $X$ tem uma distribuição contínua para que a função de distribuição cumulativa (CDF) é $F_X$ . Então a variável aleatória $Y=F_X(X)$ tem uma distribuição uniforme.
PROVA
Dada qualquer variável aleatória $X$ , defina $Y = F_X (X)$ . Então:

$\begin{aligned} F_{Y} (y) & = Prob (Y \leq y) \\ = Prob (F_{X} (X) \leq y) \\ = Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}$ $\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$

$F_Y$ $\mathrm{Uniform}(0,1)$ $Y$ $[0, 1]$

$F_X^{-1}$

F_{Z}^{- 1} (t) \equiv inf {z : F_{Z} (z) \geq t}, t \in (0, 1)

$F_Z^{-1}(t) \equiv \inf \{z : F_Z(z) \geq t \}, \;\;t\in (0,1)$

Sob essa definição, a série de igualdades da Wikipedia continua válida, para CDFs contínuos. A igualdade crítica é

Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) = Prob (X \leq inf {x : F_{X} (x) \geq y}) = Prob (F_{X} (X) \leq y)

$\operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_{X} (y)) = \operatorname{Prob}(X\leq \inf \{x : F_X(x) \geq y \})= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y)$

o que vale porque estamos examinando um CDF contínuo. Na prática, isso significa que seu gráfico é contínuo (e sem partes verticais, pois é uma função e não uma correspondência). Por sua vez, isso implica que o mínimo (o valor de inf {...}), denotado , será sempre tal que . O resto é imediato. $x(y)$ $F_X(x(y)) = y$

Em relação às CDFs de distribuições discretas (ou mistas), não é (não pode ser) verdade que segue um uniforme , mas ainda é verdade que a variável aleatória possui a função de distribuição (portanto, a amostragem de transformação inversa ainda pode ser usada). Uma prova pode ser encontrada em Shorack, GR (2000). Probabilidade para estatísticos . ch.7 . $Y=F_X(X)$ $U(0,1)$ $Z=F_{X}^{-1}(U)$ $F_X$

— Alecos Papadopoulos
fonte

+1 Uma prova semelhante também é fornecida na pág. 54 de Casella e Berger Statistical Inference, segunda edição.

— precisa saber é o seguinte

@ Analyst1 Obrigado, é bom ter várias referências.

— Alecos Papadopoulos