Existe outra interpretação para uma distribuição gama com parâmetro de forma não inteiro?

É sabido que uma variável aleatória sendo Gamma distribuída com o parâmetro de forma inteira é equivalente à soma dos quadrados de variáveis aleatórias normalmente distribuídas. $k$ $k$

Mas o que posso dizer sobre uma variável aleatória distribuída gama com não inteiro ? Existe alguma outra interpretação além da distribuição Gamma? $k$

probability gamma-distribution

— Stollenm
fonte

Gama com o parâmetro de forma é a soma dos quadrados de variáveis aleatórias normalmente distribuídas. Gama com o parâmetro de forma é a soma das distribuições exponenciais iid.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

Mais uma interpretação da gama com o número inteiro : é o tempo de espera até que a th chegada a um processo de Poisson unidimensional com intensidade .

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa

Se e são independentes, então $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ Em particular, se , ele é distribuído com a mesma distribuição que

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

para qualquer

. (Essa propriedade é chamada dedivisibilidade infinita.) Isso significa que, se

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ quando

não for um número inteiro,

mesma distribuição que

com

independente de

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Também implica que as formas com valor inteiro

não têm significado particular para Gammas.

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

Por outro lado, se com , ela tem a mesma distribuição que quando é independente de $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
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