(x) operador significa?

Eu já vi o operador $do(x)$ em toda parte em alguma revisão de literatura que estou fazendo sobre causalidade (veja, por exemplo, esta entrada da wikipedia ). No entanto, não consigo encontrar uma definição formal e geral desse operador.

Alguém pode me indicar uma boa referência sobre isso? Estou interessado em uma definição geral e não na sua interpretação em um experimento específico.

Isso é calculus. Eles explicam aqui :$do$

Intervenções e contrafactuais são definidos por meio de um operador matemático chamado , que simula intervenções físicas excluindo determinadas funções do modelo, substituindo-as por X = x constante , mantendo o restante do modelo inalterado. O modelo resultante é indicado M x .$do(x)$$X = x$$M_x$

Um causal modelo estrutural probabilística (SCM) é definido como um tuplo onde L é um conjunto de variáveis exógenas, V um conjunto de variáveis endógenas, F é um conjunto de equações estruturais que determina os valores de cada variável endógena e P ( U ) uma distribuição de probabilidade sobre o domínio de $M = \langle U, V, F, P(U) \rangle$$U$$V$$F$$P(U)$$U$ .

Em uma SCM que representam o efeito de uma intervenção sobre uma variável por um submodelo H x = ⟨ L , V , M x , P ( L ) ⟩ onde F X indica que a equação estrutural para X é substituído pelo novo equação intervencionista . Por exemplo, a intervenção atômica de definir a variável X para um valor específico x --- geralmente denotado por d o ( X = x ) --- consiste em substituir a equação por $X$$M_x = \langle U, V, F_x, P(U) \rangle$$F_x$$X$$X$$x$$do(X = x)$$X$com a equação $X = x$ .

Para esclarecer as ideias, imagine um modelo causal estrutural não paramétrico definido pelas seguintes equações estruturais:$M$

Onde os distúrbios têm alguma distribuição de probabilidade P ( U ) . Isso induz uma distribuição de probabilidade sobre as variáveis ​​endógenas P M ( Y , Z , X ) e, em particular, uma distribuição condicional de Y, dado X , P M ( Y | X ) .$U$$P(U)$$P_M(Y, Z, X)$$Y$$X$$P_M(Y|X)$

But notice $P_M(Y|X)$ is the "observational" distribution of $Y$ given $X$ in the context of model $M$. What would be the effect on the distribution of $Y$ if we intervened on $X$ setting it to $x$? This is nothing more than the probability distribution of $Y$ induced by the modified model $M_x$:

$Y$$X= x$$M_x$$P_{M_x}(Y|X=x)$$P(Y|do(X = x))$$do(X= x)$ operator makes it clear we are computing the probability of $Y$ in a submodel where there is an intervention setting $X$ equal to $x$, which corresponds to overriding the structural equation of $X$ with the equation $X =x$.

The goal of many analyses is to find how to express the interventional distribution $P(Y|do(X))$ in terms of the joint probability of the observational (pre-intervention) distribution.

do-calculus

The do-calculus is not the same thing as the $do(\cdot)$ operator. The do-calculus consists of three inference rules to help "massage" the post-intervention probability distribution and get $P(Y|do(X))$ in terms of the observational (pre-intervention) distribution. Hence, instead of doing derivations by hand, such as in this question, you can let an algorithm perform the derivations and automatically give you a nonparametric expression for identifying your causal query of interest (and the do-calculus is complete for recursive nonparametric structural causal models).