Por que o erro de reconstrução do SVD truncado é igual à soma dos valores ao quadrado?

Eu vi essa fórmula em um livro: a norma Frobenius ao quadrado da matriz original menos seu SVD truncado (que pode ser visto como o erro de aproximação) é igual à soma dos valores singulares ao quadrado.$\mathbf X$$\mathbf X_k$

Por que é que? Como provar isso?

Deixe ser o SVD do matriz . Deixeser qualquer norma da matriz que é direita e esquerda invariante sob transformações ortogonais (reflexões e as rotações); isto é, sempre que é uma matriz ortogonal ou é uma matriz ortogonal , então

$$X = U\Sigma V^\prime$$ $n\times r$$X$$||\quad ||$$P$$n\times n$$Q$$r\times r$

$$||P^\prime X Q|| = ||X||.$$

Então, pela própria definição de SVD , a ortogonalidade de e implica$U$$V$

$$||U^\prime (X-A) V||^2 = ||\Sigma - U^\prime A V||^2.$$

Como é formulado para tornar uma matriz diagonal que concorda com as primeiras entradas da matriz diagonal , o lado direito é apenas a norma quadrática de depois que essas entradas diagonais foram zeradas.$A$$U^\prime A V$$k$$\Sigma$$\Sigma$$k$

Para a norma Frobenius (cujo quadrado é a soma das entradas quadradas de seu argumento), a norma quadrada dessa cópia zerada de é a soma dos quadrados de suas entradas restantes, precisamente$\Sigma$

$$||\Sigma - U^\prime A V||^2 = \sum_{j=k+1}^r \delta_j^2.$$

Mas a norma de Frobenius obviamente é invariável sob multiplicação à esquerda e à direita por matrizes ortogonais, uma vez que ortogonalidade por definição significa preservação da norma euclidiana e da norma Frobenius (quando quadrada) é ambos (a) a soma das normas euclidianas quadradas das linhas (e, portanto, é invariável sob multiplicação à esquerda, que preserva cada norma de linha) e (b) a soma das normas euclidianas quadradas das colunas (e, portanto, é invariante sob multiplicação à direita, que preserva cada norma de coluna).