O que é assimetria de uma distribuição?

Pergunto por que alguns índices específicos parecem indecisos quanto à simetria e, em alguns casos, também à assimetria.

— Markowitz
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Curiosamente, parece que não temos uma pergunta sobre essa questão simples. Este chega perto: O que mostra uma inclinação positiva? No entanto, a única resposta até agora é enganosa (alegando que a distorção positiva significa que a média é maior que a mediana) e, depois de a ter reduzido, não posso sugerir essa pergunta como duplicada.

— Stephan Kolassa

Existe um artigo fundamental discutindo esses conceitos: jstor.org/stable/4615828?seq=1#page_scan_tab_contents WEhen (se tiver tempo, tentarei escrever uma resposta com base nisso!

— kjetil b halvorsen

Uma distribuição inclinada é aquela que não é simétrica .

— whuber

O principal problema é que a assimetria (ausência de restrições adicionais, como algumas classes de distribuições) não admite uma ordem parcial. Se você tentar medir a quantidade e a direção da assimetria por um único número, não a capturará adequadamente (por exemplo, você terminará com distribuições não simétricas às quais sua medida atribuirá a assimetria zero). Para alguma discussão sobre a última frase da pergunta, veja aqui . ... (ctd)

— Glen_b -Reinstala Monica

ctd ... Alguma discussão relevante também em partes desta resposta. Esta resposta oferece alguns links para outras discussões. Existem muitas outras discussões úteis no site.

— Glen_b -Reinstala Monica

A assimetria está relacionada à simetria de uma distribuição.

Note que não escrevo que "a assimetria mede simetria" ou algo parecido. A relação específica entre simetria e assimetria é um pouco complicada.

Uma distribuição simétrica terá assimetria zero, para definições usuais de assimetria. (Sim, existem vários). Por exemplo, na distorção momentânea de Pearson, o terceiro poder na fórmula implica que as massas de probabilidade à esquerda e a direita da média se cancelam.

No entanto, o inverso não é verdadeiro. Você pode criar facilmente distribuições que não são simétricas, mas cuja assimetria de momento de Pearson é zero - só precisamos das densidades para cancelar. De fato, você também pode fazer isso para distribuições unimodais. O mesmo se aplica a outras medidas de assimetria, como assimetria no modo de Pearson ou assimetria mediana.

No entanto, para propósitos práticos, a assimetria zero geralmente é tratada como equivalente à simetria e, a menos que você crie propositadamente um exemplo patológico, uma distribuição de inclinação zero geralmente estará próxima o suficiente da simetria para que você fique bem.

— Stephan Kolassa
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Obrigado pela sua resposta! No entanto, entendi que "a relação específica entre simetria e assimetria é um pouco complicada", mas temos uma definição formal precisa e inequívoca de simetria em probabilidade e estatística? Ou não ?

— Markowitz 12/05

Nós fazemos. Veja a definição 1 no artigo ao qual vinculei .

— Stephan Kolassa

Esta resposta é um argumento muito forte de que stats.stackexchange.com/questions/2899 é uma duplicata.

— whuber

O artigo fala sobre localização e assimetria em termos de distribuição "comparável". A definição está sempre relacionada a duas distribuições, e a simetria não é definitiva no sentido absoluto ... ou pelo menos parece-me. Além disso, a definição é complicada. Talvez essa definição mais simples seja possível: se F (ax) = 1-F (a + x) para todos x, e um valor perticular a (mediana?), Onde F () é o CDF, a distribuição é simétrica. O que você acha ?

— Markowitz

X

$X$

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$