Ajude-me a entender a função quantile (CDF inverso)

Estou lendo sobre a função quantil, mas não está claro para mim. Você poderia fornecer uma explicação mais intuitiva do que a fornecida abaixo?

Como o cdf é uma função monotonicamente crescente, ele tem um inverso; vamos denotar isso por . Se é o cdf de , então é o valor de tal que ; isso é chamado de quantil . O valor é a mediana da distribuição, com metade da massa de probabilidade à esquerda e metade à direita. Os valores e são os quartis inferior e superior. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
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Você deve aprender a usar a marcação matemática, veja minhas edições!

— Kjetil b halvorsen

Este é um modelo de explicação concisa em um determinado nível e já contém um exemplo. Não está claro qual o nível de explicação que você procura. Uma resposta pode ser 10 vezes maior que isso, dependendo do que você não sabe. Por exemplo, você sabe que é um cdf? você sabe o que significa "aumentar monotonicamente"? você sabe o que é uma função inversa? Estamos apenas no meio da primeira frase. Sua pergunta é equivalente a uma afirmação de que você não entende (tudo) isso e, embora não tenhamos motivos para duvidar de você, essa não é uma pergunta precisa.

— Nick Cox

Tudo isso pode parecer complicado a princípio, mas é essencialmente sobre algo muito simples.

Por função de distribuição cumulativa, denotamos a função que retorna probabilidades de $X$ serem menores ou iguais a algum valor $x$ ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Essa função assume como entrada e retorna valores do intervalo (probabilidades) - vamos denotá-los como . O inverso da função de distribuição cumulativa (ou função quantil) diz a você que faria retornar algum valor , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Isso é ilustrado no diagrama abaixo, que usa a função de distribuição cumulativa normal (e sua inversa) como exemplo.

Exemplo

Como um exemplo simples, você pode usar uma distribuição Gumbel padrão . Sua função de distribuição cumulativa é

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

e pode ser facilmente invertido: a função de logaritmo natural é uma inversa da função exponencial ; portanto, é instantaneamente óbvio que a função quantil da distribuição de Gumbel é

F^{- 1 1} (p) = - em (- em (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Como você pode ver, a função quantil, de acordo com seu nome alternativo, "inverte" o comportamento da função de distribuição cumulativa.

Função de distribuição inversa generalizada

Nem toda função tem um inverso. É por isso que a citação a que você se refere diz "função monotonicamente crescente". Lembre-se de que, a partir da definição da função , ela deve atribuir para cada valor de entrada exatamente uma saída. As funções de distribuição cumulativa para variáveis aleatórias contínuas satisfazem essa propriedade, pois estão aumentando monotonicamente. Para variáveis aleatórias discretas, as funções de distribuição cumulativa não são contínuas e crescentes; portanto, usamos funções de distribuição inversa generalizadas que precisam ser não decrescentes. Mais formalmente, a função de distribuição inversa generalizada é definida como

F^{- 1 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

A definição, traduzida para o inglês simples, diz que, para um determinado valor de probabilidade $p$ , estamos procurando por alguns $x$ , que resultem em $F(x)$ retornando valor maior ou igual a $p$ , mas como pode haver vários valores de $x$ que atendam a essa condição (por exemplo, $F(x) \ge 0$ é verdadeiro paraqualquer $x$ ), então pegamos o menor $x$ deles.

Funções sem inversos

Em geral, não há inversões para funções que podem retornar o mesmo valor para entradas diferentes, por exemplo, funções de densidade (por exemplo, a função de densidade normal padrão é simétrica, portanto, retorna os mesmos valores para $-2$ e $2$ etc.). A distribuição normal é um exemplo interessante por mais um motivo - é um dos exemplos de funções de distribuição cumulativa que não têm uma inversa de forma fechada . Nem toda função de distribuição cumulativa precisa ter uma inversa de forma fechada ! Felizmente, nesses casos, os inversos podem ser encontrados usando métodos numéricos.

Caso de uso

A função quantil pode ser usada para geração aleatória, conforme descrito em Como o método de transformação inversa funciona?

— Tim
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Essa resposta funciona até o penúltimo parágrafo. Quando você chega lá, você afirma que todo CDF contínuo tem um inverso, mas parece que você ofereceu a distribuição Normal como um contra-exemplo a essa mesma afirmação. Isso é potencialmente muito confuso.

— whuber

@whuber você está certo, adicionou uma frase para deixar mais claro.

— Tim

Tim e eu adicionamos mais uma palavra para torná-la ainda mais clara :)

— ameba diz Reinstate Monica

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ daria o maior limite inferior, ou seja, fixaria um ponto único e, assim, definiria inversa generalizada. Isso faz sentido ?

— Alexander Cska

@AlexanderCska Sim, basicamente, vários valores de F (x) são maiores que u, então assumimos o limite inferior, "o menor valor que atende a essa condição".

— Tim

Tim teve uma resposta muito completa. Bom trabalho!

Eu gostaria de acrescentar mais um comentário. Nem todas as funções monotonicamente crescentes têm uma função inversa. Na verdade, apenas funções estritamente monotônicas de aumento / redução têm funções inversas.

Para o aumento monotônico de cdf que não é estritamente monotônico, temos uma função quantil que também é chamada de função de distribuição cumulativa inversa. Você pode encontrar mais detalhes aqui .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
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