Amostragem de distribuição marginal usando distribuição condicional?

Eu quero provar de uma densidade univariada mas eu só sei o relacionamento: $f_X$

f_{X} (x) = \int f_{X | Y} (x | y) f_{Y} (y) d y .

$f_X(x) = \int f_{X\vert Y}(x\vert y)f_Y(y) dy.$

Eu quero evitar o uso do MCMC (diretamente na representação integral) e, como e são fáceis de amostrar, eu estava pensando em usar o seguinte amostrador : $f_{X\vert Y}(x\vert y)$ $f_Y(y)$

Para . $j=1,\dots, N$
Amostra . $y_j \sim f_Y$
Exemplo de . $x_j \sim f_{X\vert Y}(\cdot\vert y_j)$

Então, terminarei com os pares e apenas as amostras marginais . Isso está correto? $(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)$ $(x_1,\dots,x_N)$

— Cajado
fonte

Sim isto está correcto. Basicamente, você tem

f_{X, Y} (x, y) = f_{X | Y} (x | y) f_{Y} (y),

$f_{X,Y}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y),$

e como você disse, você pode colher amostras da densidade das articulações. A coleta apenas dos s das amostras leva a uma amostra da distribuição marginal. $x$

Isso ocorre porque o ato de ignorar o é semelhante à integração sobre ele. Vamos entender isso com um exemplo. $y$

Suponha que = Altura das mães e = Altura da filha. O objetivo é obter uma amostra de para entender a relação entre as alturas das filhas e de suas mães. (Estou assumindo que há apenas uma filha na família e restringindo a população a todas as filhas acima de 18 anos para garantir o crescimento total). $X$ $Y$ $(X,Y)$

Você sai e obtém uma amostra representativa

(x_{1 1}, y_{1 1}), \dots, (x_{N}, y_{N}) .

$(x_1, y_1), \dots, (x_N, y_N).$

Assim, para cada mãe, você tem a altura da filha deles. Deve haver uma relação clara entre e . Agora, suponha que, no seu conjunto de dados, você ignore todos os dados das filhas (solte o ), então o que você tem? Você tem exatamente alturas de mães escolhidos aleatoriamente, que será tira da marginal de . $X$ $Y$ $Y$ $N$ $X$

— Greenparker
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Obrigado por isso, isso é útil. Você sabe se essa estratégia de amostragem pode ser vinculada à amostragem de Gibbs para justificá-la formalmente?

— Rod

y

$y$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

Greenparker, mas existe uma prova formal dessa afirmação, ou seja, considerando que apenas parte da amostra retirada da articulação fornece uma amostra do marginal?

— Um velho no mar.

A amostragem de "X = mães" por amostragem (X, Y) e coleta de X na verdade fornece amostras de "mães que têm exatamente uma filha totalmente crescida", o que não é o mesmo que "mães". Mas mesmo se mudarmos seu exemplo para dizer que você está interessado em "X = mães que têm exatamente uma filha totalmente crescida", chegar a X por amostragem (X, Y) inclina sua amostra com base na distribuição de Y. p (v ) = ∑ (u no suporte (U)) (p (u, v))) = ∑ (u no suporte (U)) (p (v | u) * p (u))) = (1 / sampleSize ( u)) * ∑ (u na amostra (U)) (p (v | u)))), porque cada valor de u aparece na amostra com probabilidade p (u) - portanto, é necessário calcular a média de p (v | u) draws

— radumanolescu 23/02