Por que o valor p bayesiano envolve os parâmetros além dos dados?

Na página 146 da Análise Bayesiana de Dados de Gelman, Gelman discute o valor p Bayesiano como uma maneira de verificar o ajuste do modelo. A idéia é comparar os dados observados ( ) com os dados que poderiam ter sido gerados pelo modelo se replicarmos o experimento ( ). $y$ $y^{rep}$

Ele define o valor p bayesiano como

p_{B} = P r (T (y^{r e p}, θ) \geq T (y, θ) | y)

$p_B = Pr(T(y^{rep}, \theta) \geq T(y, \theta) | y)$

Não entendo muito bem por que faz sentido que a estatística de teste seja uma função dos parâmetros . De fato, se o objetivo é "comparar os dados observados com os dados que poderiam ter sido gerados pelo modelo ", a comparação não deveria ser estritamente entre e ? $\theta$ $y$ $y^{rep}$

Por exemplo, na mesma página, Gelman fornece um exemplo em que ele verifica o ajuste de um modelo normal. A estatística do teste é:

T (y, θ) = | y_{(61)} - θ | - | y_{(6)} - θ |

$T(y, \theta) = | y_{(61)} - \theta | - |y_{(6)} - \theta |$

onde é a média do modelo normal. Essa estatística de teste foi projetada para ignorar o ajuste do modelo na extremidade extrema, além das estatísticas de 6ª e 61ª ordem. $\theta$

Por que não usamos a seguinte estatística de teste, contando apenas com os dados?

T (y, θ) = | y_{(61)} - \bar{y} | - | y_{(6)} - \bar{y} |

$T(y, \theta) = | y_{(61)} - \bar y | - |y_{(6)} - \bar y |$

bayesian p-value goodness-of-fit

— Heisenberg
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Não há nada que o impeça de usar estatísticas de teste baseadas apenas nos dados replicados.

O ponto no exemplo é que o modelo assume que é normalmente distribuído em torno de uma média não está em torno de . Assim, a estatística de teste fornecida em Gelman et. al. testa algo sobre a suposição de normalidade, ao passo que não está realmente claro o que sua estatística de teste está testando. $y_i$ $\theta$ $\overline{y}$

— jaradniemi
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Concordo que é 100% kosher usar estatísticas de teste baseadas apenas nos dados replicados. A questão é por que é kosher usar estatísticas de teste que envolvem os parâmetros do modelo? Conceitualmente, faz sentido que usemos o modelo para fazer algumas previsões e depois compará-las com a "verdade fundamental" observada . Não faz sentido que a comparação possa ser feita com , que envolve , que vem do modelo que queremos verificar em primeiro lugar. Parece circular para mim.

T (y)

$T(y)$

T (y, θ)

$T(y, \theta)$

θ

$\theta$

— Heisenberg