Como adicionar duas variáveis aleatórias dependentes?

Eu sei, não posso usar convolução. Eu tenho duas variáveis aleatórias A e B e elas são dependentes. Preciso da função distributiva de A + B

random-variable non-independent

— Mesko
fonte

Se A e B são dependentes, a distribuição conjunta de A e B é necessária para obter a distribuição de A + B.

— Vinux

Eu não entendi sua pergunta. O que você sabe e por que você não pode usar a convolução?

— Xian

Eu sei que a função distributiva de A e B. f A e B são duas variáveis aleatórias independentes e contínuas, então eu posso encontrar a distribuição de Z = A + B tomando a convolução de f (A) eg (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞f (A) g (z-B) dA Mas o que posso fazer quando eles não são independentes? Sinto muito, se isso é uma pergunta idiota.

— Mesko

Não é uma pergunta idiota para Mesko, mas o que as pessoas estão apontando é que elas precisam de mais informações. A resposta depende de como

não são independentes. Uma descrição completa disso é dada pela distribuição conjunta de

, que é o que o vinux pede. Xi'an está investigando um pouco mais delicadamente, mas realmente procura o mesmo tipo de informação para ajudá-lo a progredir.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Respostas:

Como o vinux aponta, é necessário a distribuição conjunta de e $A$ $B$ , e não é óbvio pela resposta de OP Mesko "Eu sei a função distributiva de A e B" que ele está dizendo que conhece a distribuição conjunta de A e B: ele pode bem, dizendo que ele conhece as distribuições marginais de A e B. No entanto, assumindo que Mesko conhece a distribuição conjunta, a resposta é dada abaixo.

A partir da convolução integral no comentário de OP Mesko (que está errado, a propósito), pode-se inferir que Mesko está interessado em variáveis aleatórias conjuntamente contínuas e com função de densidade de probabilidade conjunta . Nesse caso, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Quandoesão independentes, a função da densidade da junta é fator de influência no produto das funções da densidade marginal:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ e obtemos a fórmula de convolução mais familiar para variáveis aleatórias independentes. Um resultado semelhante também se aplica a variáveis aleatórias discretas.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
fonte

Isso está relacionado ao meu comentário e resposta a outra pergunta que trata de distribuições conjuntas há alguns dias.

— Xi'an

Antes, não sei se o que estou dizendo está correto, mas fiquei com o mesmo problema e tentei resolvê-lo desta maneira:

f_{UMA, B} (uma, b) = (uma + b) H (uma, b) H (- uma + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$ ou equivalente

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Now you can perform the integral without caring about limits of integration.

This is the wolfram rapresentation of the joint : A

Computing the integral I have : B

Plotted : C

That's the function :

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

— R.Lac
fonte

The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

— Michael R. Chernick

+1 for correctly solving the alleged counterexample in @cdlg's answer and showing that the calculations if carried out correctly do give the correct answer, and not the erroneous s results in cdlg's answer. I can't believe that that answer has received two upvotes.

— Dilip Sarwate

Como adicionar duas variáveis ​​aleatórias dependentes?

Como adicionar duas variáveis aleatórias dependentes?