A soma de uma variável aleatória discreta e contínua é contínua ou mista?


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Se X é discreto e é uma variável aleatória contínua, o que podemos dizer sobre a distribuição de ? É contínuo ou é misturado?YX+Y

E o produto ?XY

Respostas:


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Suponhamos que assume valores k K com distribuição discreta ( p k ) k K , onde K é um conjunto contáveis, e Y assume valores em R com densidade f Y e CDF F Y .XkK(pk)kKKYRfYFY

Vamos . Temos P ( Z z ) = P ( X + Y z ) = Σ k K P ( Y z - X | X = K ) P ( X = K ) = Σ k K F Y ( z - k ) p k ,Z=X+Y

P(Zz)=P(X+Yz)=kKP(YzXX=k)P(X=k)=kKFY(zk)pk,
que pode ser diferenciada para obter uma função de densidade para dada por f Z ( z ) = k K f Y ( z - k ) p k .Z
fZ(z)=kKfY(zk)pk.

R=XYp0=0

P(Rr)=P(XYr)=kKP(Yr/X)P(X=k)=kKFY(r/k)pk,
que novamente pode ser diferenciado para obter uma função de densidade.

p0>0P(XY=0)P(X=0)=p0>0XY


2

XpX:X[0,1]XX

fX(x)=xkXpX(xk)δ(xxk)

δ

YZ:=X+YXYZXYZfXfY

fZ(z)=xkXpX(xk)fY(zxk)

Por que o voto negativo?
Rodrigo de Azevedo

1
Sim, eu também estou curioso sobre o downvote
Yair Daon

2
XY
whuber

@whuber Eu concordo com (b). No entanto, diz-se que um RV discreto "pode ​​ser considerado como ...", então eu acho que adiciona uma visão interessante.
Yair Daon

2
Foi por isso que escrevi que sua resposta é enganosa. Como a pergunta diz respeito à distinção entre distribuições discretas e contínuas - e essa distinção é uma questão de definição matemática, não de "gosto" - seus esforços para confundir as duas provavelmente não serão úteis.
whuber

2

XY

Edit: Estou assumindo que "contínuo" significa "ter um pdf". Se contínuo, ao contrário, pretende significar sem átomo, a prova é semelhante; simplesmente substitua "Lebesgue null set" por "singleton set" a seguir.


X{x1,x2,x3}

ZP(ZE)=0E

X+YE

P(X+YE)=kP({Y+xkE}{X=xk})kP(Y+xkE)
Y+xkEYExkExkYP(Y+xkE)=0X+Y

P(X=0)=0P(X=0)=1XYP(XY=0)=1XY é uma mistura não trivial.

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