Você pode explicar por que o empate estatístico não é ingenuamente rejeitado quando

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Preciso de ajuda para explicar e citar textos estatísticos básicos, documentos ou outras referências, por que geralmente é incorreto usar a estatística da margem de erro (MOE) relatada nas pesquisas para declarar ingenuamente um empate estatístico.

Um exemplo: o candidato A lidera o candidato B em uma pesquisa, %, margem de erro de para eleitores pesquisados. $39 - 31$ $4.5 \%$ $500$

Meu amigo raciocina assim:

Devido às complexidades da modelagem estatística, a margem de erro significa que o verdadeiro suporte de A pode ser tão baixo quanto 34,5 por cento e B pode ser tão alto quanto 35,5 por cento. Portanto, A e B estão realmente em um empate estatístico.

Toda ajuda apreciada em articular claramente a falha do raciocínio de meu amigo. Tentei explicar que é incorreto rejeitar ingenuamente a hipótese "A leva B" se . $p_A-p_B < 2MOE$

polling

— Antoni Parellada
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Para uma discussão mais aprofundada sobre isso, incluindo abordagens para combinar MOEs corretamente, consulte stats.stackexchange.com/questions/18215 .

— whuber

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Minha primeira tentativa de resposta foi falha (veja a resposta abaixo). A razão pela qual é falho é que a margem de erro (MOE) relatada se aplica à porcentagem de pesquisa de um candidato, mas não à diferença das porcentagens. Minha segunda tentativa aborda explicitamente um pouco melhor a questão colocada pelo OP.

Segunda tentativa

O amigo do OP raciocina da seguinte maneira:

Construa o intervalo de confiança para o Candidato A e o Candidato B separadamente, usando o MOE fornecido.
Se eles se sobrepõem, temos uma audição estatística estatística e, se não o fizerem, A está atualmente liderando B.

O principal problema aqui é que o primeiro passo é inválido. Construir intervalos de confiança de forma independente para os dois candidatos não é uma etapa válida, porque as porcentagens de pesquisa dos dois candidatos são variáveis aleatórias dependentes. Em outras palavras, um eleitor que decide não votar em A pode potencialmente decidir votar em B. Portanto, a maneira correta de avaliar se o lead é significativo ou não é construir um intervalo de confiança para a diferença. Consulte o wiki sobre como calcular o erro padrão para a diferença de porcentagens de pesquisa sob algumas suposições.

Resposta defeituosa abaixo

Na minha opinião, a maneira 'correta' de pensar no resultado da pesquisa é a seguinte:

Em uma pesquisa com 500 eleitores, as chances de vermos uma diferença de chumbo de 8% é maior que 5%.

Se você acredita que 'A leva B' ou 'A empata B', então depende da medida em que você deseja aceitar 5% como critério de corte.

@Srikvant. Suponha que 5% é significância aceitável. Estou procurando uma resposta mais precisa, que exponha a ideia de que "A leva B" é uma nova estatística, a diferença de pA e pB, e que o intervalo de confiança correspondente não é simplesmente 2 * MOE.

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É mais fácil explicar em termos de desvios padrão, em vez de intervalos de confiança.

A conclusão do seu amigo está basicamente correta no modelo mais simples, onde você tem uma amostragem aleatória simples e dois candidatos. Agora, as proporções da amostra satisfazem modo que . Assim, e, portanto, O que torna possível esse relacionamento simples é que e estão perfeitamente correlacionados negativamente, porque em geral $p_A + p_B = 1$ $p_B = 1 - p_A$

V uma r (p_{UMA} - p_{B}) = V uma r (2 p_{UMA} - 1) = 4 V uma r (p_{UMA})

$Var(p_A - p_B) = Var(2 p_A - 1) = 4 Var(p_A)$

S D (p_{UMA} - p_{B}) = 2 S D (p_{UMA}) .

$SD(p_A - p_B) = 2 SD(p_A).$

p_{A}

$p_A$

p_{B}

$p_B$

V uma r (p_{UMA} - p_{B}) = V uma r (p_{UMA}) + V uma r (p_{B}) - 2 C o v (p_{UMA}, p_{B}) .

$Var(p_A - p_B) = Var(p_A) + Var(p_B) - 2 Cov(p_A, p_B).$

Fora deste modelo simples , se não for válido em geral, você deverá levar em consideração a correlação entre e que não está incluída na margem de erro. É possível para . $p_A + p_B = 1$ $p_A$ $p_B$ $SD(p_A - p_B) \ll 2 SD(p_A)$

Mas toda essa nuance parece indicar que as organizações de votação devem relatar a margem de erro sobre a diferença. Onde está Nate Silver?

— vqv
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Não é apenas uma maneira ruim de descrever as coisas, mas também não é um empate estatístico.

Você não usa intervalos de confiança sobrepostos dessa maneira. Se você realmente quisesse dizer apenas que o candidato A ia vencer, o candidato A está definitivamente na liderança. A liderança é de 8% MOE 6,4%. O intervalo de confiança dessa pontuação de subtração não é o dobro do intervalo de confiança das pontuações individuais. O que está implícito ao reivindicar a sobreposição de ICs (± MOE) em torno de cada estimativa é um empate. Assumindo N e variância iguais, o MOE da diferença é sqrt (2) vezes 4.5. Isso porque encontrar a diferença entre os valores apenas dobraria a variação (DP ao quadrado). O intervalo de confiança é baseado em um sqrt da variação, portanto, combiná-los é a média (4,5) * sqrt (2). Como o MOE da sua liderança de 8% é de aproximadamente 6,4%, o candidato A está na liderança.

Como um aparte, os MOE são muito conservadores e baseiam-se no valor de 50% da escolha. A fórmula é sqrt (0,25 / n) * 2. Existe uma fórmula para calcular erros padrão das pontuações de diferenças que também poderíamos usar. Nós aplicaríamos isso usando os valores encontrados em vez do ponto de corte de 50% e isso ainda nos dá uma vantagem significativa para o Candidato A (7,5% MOE). Acredito que, dado o comentário dos questionadores e a proximidade desse ponto de corte com o hipotético selecionado, provavelmente era isso que eles estavam procurando.

Qualquer introdução aos intervalos de confiança e ao poder seria útil aqui. Até o artigo da wikipedia no MOE parece muito bom.

— John
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