Intuição por trás da taxa de risco

Estou confuso sobre a equação que serve como a definição da taxa de risco. Tenho a ideia de qual é a taxa de risco, mas não vejo como a equação expressa essa intuição.

Se é uma variável aleatória que representa o ponto do tempo de morte de alguém em um intervalo de tempo . Então a taxa de risco é:$x$$[0,T]$

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Onde representa a probabilidade de morte até que ponto de tempo , representa a probabilidade de ter sobrevivido até ponto de tempo x \ de [0, T] , e f ( x) é a probabilidade de morte no ponto x .$F(x)$$x\in[0,T]$
$1-F(x)$$x\in[0,T]$
$f(x)$$x$

Como a divisão de $f(x)$ pela taxa de sobrevivência explica a intuição da probabilidade de morte instantânea no próximo $\Delta t$ ? Não deveria ser apenas $f(x)$ , tornando o cálculo da taxa de risco trivial?

Deixe $X$ denotar a hora da morte (ou a hora do fracasso, se você preferir uma descrição menos mórbida). Suponha que $X$ seja uma variável aleatória contínua cuja função de densidade $f(t)$ seja diferente de zero apenas em $(0,\infty)$ . Agora, observe que deve ser o caso de que $f(t)$ decaia para $0$ como $t \to \infty$ porque se $f(t)$ não decai como indicado, então $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ não pode ser mantido. Assim, sua noção de que $f(T)$ é a probabilidade de morte no momento $T$ (na verdade, é$f(T)\Delta t$ que é (aproximadamente) a probabilidade de morte no intervalo curto $(T, T+\Delta t]$ de comprimento $\Delta t$ ) leva a conclusões implausíveis e inacreditáveis, como

É mais provável que você morra no próximo mês, aos trinta anos do que aos noventa e oito.

sempre que $f(t)$ é tal que $f(30) > f(98)$ .

A razão pela qual (ou ) é a probabilidade "errada" de olhar é que o valor de é de interesse apenas para aqueles que estão vivos na idade (e ainda mentalmente alerta o suficiente para ler estatísticas. SE regularmente!) O que deve ser observado é a probabilidade de uma pessoa com idade de morrer no próximo mês, ou seja,f ( T ) Δ t f ( T $f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Escolhendo para quinze dias, uma semana, um dia, uma hora, um minuto, etc. chegamos à conclusão de que a taxa de risco (instantânea) para uma criança de year é$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

no sentido de que a probabilidade aproximada de morte no próximo femtossegundo de um ano ét f ( t ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Observe que, ao contrário da densidade integra a , a integral deve divergir. Isso ocorre porque o CDF está relacionado à taxa de risco através de$f(t)$$1$$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ e desde que , ele deve ser que ou declarado formalmente, a integral da taxa de risco deve divergir: não há divergência potencial como uma edição anterior reivindicada.$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$

As taxas de risco típicas estão aumentando as funções do tempo, mas são possíveis taxas de risco constantes (vida útil exponencial). Esses dois tipos de taxas de risco obviamente têm integrais divergentes. Um cenário menos comum (para aqueles que acreditam que as coisas melhoram com a idade, como o vinho fino) é uma taxa de risco que diminui com o tempo, mas lenta o suficiente para que a integral diverja.

Imagine que você está interessado na incidência do (primeiro) casamento entre homens. Para analisar a incidência do casamento aos 20 anos, digamos, você selecionaria uma amostra de pessoas que não são casadas nessa idade e veria se elas se casarão no próximo ano (antes de completar 21 anos).

Você pode obter uma estimativa aproximada de como a proporção de indivíduos que se casaram na sua amostra de solteiros de 20 anos, ou seja,

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

Então, basicamente, isso é apenas usando a definição de probabilidade condicional, Agora imagine que tornamos a unidade etária cada vez menor, até dias, por exemplo. Ou seja, qual é a incidência do casamento aos 7300 dias de idade? Então você faria o mesmo, mas pesquise todos os indivíduos de 7300 dias e veja quem se casa antes do final do dia. Se é uma variável aleatória de idade no casamento, poderíamos escrever pela mesma lógica de antes.

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ $T$ $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$

O risco seria então a probabilidade instantânea de casamento na idade , para um indivíduo não casado. Podemos escrever isso como $t$

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$ não é a probabilidade de morte, mas a densidade de probabilidade; o número esperado de vezes que você morre dentro da próxima unidade de tempo, se a densidade de probabilidade permanecer constante durante essa unidade de tempo.

Observe que há um problema: sua probabilidade de morrer quando você já morreu antes é bastante problemática. Portanto, faz mais sentido computar a probabilidade de morte condicional por ter sobrevivido até agora. , a probabilidade de ter sobrevivido até , dividindo a densidade de probabilidade por essa probabilidade, obterá o número esperado de vezes que morreremos dentro da próxima unidade de tempo, desde que não tenha morrido antes. Essa é a taxa de risco.$1-F(t)$$t$