Qual hospital deve ser escolhido? Um tem uma taxa de sucesso mais alta, mas o outro tem uma taxa de sucesso geral mais alta

Tenho uma pergunta sobre algo que meu professor de estatística disse sobre o seguinte problema. Minha pergunta nem é sobre a ocorrência do paradoxo de Simpson nessa situação. Minha pergunta é simplesmente sobre a insistência do meu professor de que A) e D) são as respostas certas em vez de A) e F). Ele disse:

"Como a taxa de sucesso é tão baixa para as cirurgias tipo E, podemos concluir que são difíceis e não apenas incomuns. Portanto, Mercy provavelmente possui melhores equipamentos / médicos quando comparada à Hope".

Não entendo como ele pôde inferir estatisticamente que Mercy faz "cirurgias mais difíceis". A misericórdia obviamente tem uma melhor taxa de sucesso nas cirurgias do tipo E, mas por que isso significa que elas fazem "cirurgias mais difíceis"? Acho que estou sendo ferrado com a redação desse problema e o professor não está se mexendo. Alguém pode explicar por que estou errado ou como posso explicar isso ao professor?

Existem dois hospitais chamados Mercy e Hope na sua cidade. Você deve escolher um desses nos quais se submeter a uma operação. Você decide basear sua decisão no sucesso de suas equipes cirúrgicas. Felizmente, sob o novo plano de saúde, os hospitais fornecem dados sobre o sucesso de suas operações, divididos em cinco grandes categorias de operações. Suponha que você obtenha os seguintes dados para os dois hospitais:

Mercy Hospital

Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366

Hope Hospital 

Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

Você percebe que, em todos os tipos de operações, a Mercy tem uma taxa de sucesso mais alta que a Hope, mas a Hope tem a maior taxa de sucesso geral. Qual hospital você escolheria e por quê (escolha duas respostas)?

A) Misericórdia; como eu realizaria uma operação específica, quero o hospital com a melhor taxa de sucesso para essa operação.

B) esperança; como eles realizam menos operações em todas as categorias, eles não são "felizes com a operação" como a Mercy.

C) esperança; este é um exemplo do paradoxo de Simpson e devemos sempre escolher a conclusão "óbvia".

D) Misericórdia; olhando para a coluna E, Mercy claramente faz cirurgias mais difíceis e, portanto, provavelmente é um hospital melhor.

E) esperança; tem a melhor taxa de sucesso geral.

F) Misericórdia; este é um exemplo do paradoxo de Simpson e devemos sempre escolher o oposto da conclusão "óbvia".

Eu acho que A e E não são uma boa combinação, porque A diz que você deve escolher Mercy e E diz que você deve escolher Hope.

A e D têm a virtude de defender a mesma escolha. Mas, vamos examinar a linha de raciocínio em D com mais detalhes, pois essa parece ser a confusão. A probabilidade de sucesso das cirurgias segue a mesma ordem nos dois hospitais, sendo o tipo A mais provável de ter sucesso e o tipo E o menos provável. Se entrarmos em colapso sobre (ou seja, ignorar) os hospitais, podemos ver que a probabilidade marginal de sucesso para as cirurgias é:

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

Como E é muito menos provável que seja bem-sucedido, é razoável imaginar que seja mais difícil (embora no mundo real outras possibilidades também existam). Podemos estender essa linha de pensamento para os outros quatro tipos também. Agora vamos ver qual a proporção do total de cirurgias de cada hospital de cada tipo:

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

O que notamos aqui é que Hope tende a fazer mais cirurgias mais fáceis, AC (e especialmente B & C), e menos cirurgias mais difíceis, como D.E, são bastante incomuns nos dois hospitais, mas, pelo que vale, Hope realmente faz uma porcentagem maior. No entanto, o efeito Paradox de Simpson será dirigido principalmente pelo BD aqui (na verdade, não na coluna E, como a opção de resposta D sugerida).

O Paradoxo de Simpson ocorre porque as cirurgias variam em dificuldade (em geral) e também porque os N's diferem. São as diferentes taxas básicas dos diferentes tipos de cirurgias que tornam isso contra-intuitivo. O que está acontecendo seria fácil de ver se os dois hospitais fizeram exatamente o mesmo número de cada tipo de cirurgia. Podemos fazer isso simplesmente calculando as probabilidades de sucesso e multiplicando por 100; isso ajusta para as diferentes frequências:

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

Agora, porque os dois hospitais fizeram 100 de cada cirurgia (500 no total), a resposta é óbvia: a misericórdia é o melhor hospital.

Nenhuma das respostas é totalmente infundada. Mas todos eles assumem um conhecimento externo significativo e não podem ser considerados estritamente corretos com base nas estatísticas.

A, B, D e E exigem suposições sobre os fatores que levam os pacientes a escolher um hospital em detrimento de outro; o processo pelo qual médicos e pacientes são comparados, até que ponto as taxas de sucesso são atribuíveis a classes específicas de operações versus fatores compartilhados, como UTI, e assim por diante.

No mundo real, poderíamos legitimamente considerar muitos fatores alternativos, como os provedores de pagamento que o hospital oficialmente aceita, as taxas socioeconômicas e de obesidade do bairro, seja este um hospital de ensino (nesse caso, a taxa de sucesso cai quando novos estagiários chegam e nós tem que considerar mix mensal), e assim por diante.

Obviamente, podemos e fazemos suposições razoáveis ​​sobre esses fatores, mas sem abordá-los ou excluí-los especificamente do problema, é impossível dizer se uma resposta está "certa" ou não.

O @gung deu uma resposta muito completa, mas há mais uma razão pela qual D é uma resposta correta à pergunta: Melhores hospitais realizam mais operações difíceis porque são melhores. Ou seja, se uma pessoa entrar no Hospital Hope para a operação E (a mais difícil), poderá enviá-la para Mercy porque na Hope não sabe como fazê-lo.

Isso acontece até no mundo real, com os casos mais difíceis sendo enviados para hospitais maiores ou mais especializados.