Por que não o trabalho CLT para

Portanto, sabemos que uma soma de $n$ poissons com o parâmetro $\lambda$ é em si um poisson com $n\lambda$ . Assim, hipoteticamente, uma pode demorar $x \sim poisson(\lambda = 1)$ e dizem que é realmente $\sum_1^n x_i \sim poisson(\lambda = 1)$ onde cada $x_i$ é: $x_i \sim poisson(\lambda = 1/n)$ , e tomar um grande n para obter CLT ao trabalho.

Isso (obviamente) não funciona. Suponho que isso tenha algo a ver com o modo como o CLT funciona "mais rápido" para variáveis ​​aleatórias que estão "mais próximas" do normal e que quanto menor o lambda, mais obtemos uma variável aleatória que é geralmente 0 e varia raramente outra coisa.

No entanto, o que expliquei é a minha intuição. Existe uma maneira mais formal de explicar por que esse é o caso?

Obrigado!

Concordo com @whuber que a raiz da confusão parece substituir o somatório assintótico no CLT por algum tipo de divisão em seu argumento. Em CLT temos o fixo de distribuição de , em seguida, chamar a n números x i a partir dele e calcular a soma$f(x,\lambda)$$n$$x_i$ . Se continuarmos aumentandon, acontece uma coisa interessante: $\bar x_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$n$ ondeμ,σ2são médios e a variação da distribuiçãof(x).

$$\sqrt n (\bar x_n-\mu)\rightarrow\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$ $\mu,\sigma^2$$f(x)$

O que você está sugerindo fazer com Poisson é um pouco atrasado: em vez de somar as variáveis ​​de uma distribuição fixa , você deseja dividir a distribuição fixa em partes em constante mudança . Em outras palavras, você pega uma variável de uma distribuição fixa f ( x , λ ) e depois a divide em x i de modo que n ∑ i = 1 x i ≡ $x$$f(x,\lambda)$$x_i$

$$\sum_{i=1}^nx_i\equiv x$$

O que a CLT diz sobre esse processo? Nada. Observe como na CLT sempre mudamos e suadistribuiçãovariávelfn(x)que converge para umadistribuiçãofixaN(0,σ2$\sqrt n(\bar x_n-\mu)$$f_n(x)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Na sua configuração, nem a soma nem sua distribuição f ( x , λ ) estão mudando! Eles estão consertados. Eles não estão mudando, não estão convergindo para nada. Portanto, a CLT não tem nada a dizer sobre eles.$x$$f(x,\lambda)$

Além disso, o CLT não diz nada sobre o número de elementos na soma. Você pode ter uma soma de 1000 variáveis ​​de Poisson (0,001) e o CLT não diz nada sobre a soma. Tudo o que diz é que, se você continuar aumentando N, em algum momento essa soma começará a parecer uma distribuição normal . De fato, se N = 1.000.000, você obterá uma aproximação aproximada da distribuição normal.$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i, x_i\sim Poisson(0.001)$

Sua intuição tem razão apenas sobre o número de elementos na soma, ou seja, quanto mais a distribuição inicial for diferente do normal, mais elementos você precisará somar para chegar ao normal. A maneira mais formal (mas ainda informal) seria olhando para a função característica de Poisson: Se você Ganhe muitos > > 1 , você começa com a expansão de Taylor (wrt t ) do expoente aninhado: ≈ exp ( i λ t - λ / 2 t

$$\exp(\lambda (\exp(it)-1))$$ $\lambda>>1$$t$ Esta é a função característica da distribuição normal $$\approx\exp(i\lambda t-\lambda/2t^2)$$ $\mathcal{N}(\lambda,\lambda^2)$

No entanto, sua intuição não é aplicada corretamente: seu deslocamento da soma no CLT com algum tipo de divisão atrapalha as coisas e torna o CLT inaplicável.

O problema com o seu exemplo é que você está permitindo que os parâmetros sejam alterados à medida que muda. O CLT informa que, para uma distribuição fixa com média finita e sd, como n → ∞ ,$n$$n \rightarrow \infty$

,$\frac {\sum x - \mu} {\sqrt n} \rightarrow_d N(0, \sigma)$

onde e σ são da média e sd da distribuição de x .$\mu$$\sigma$$x$

Obviamente, para diferentes distribuições (ou seja, assimetrias mais altas, por exemplo), maiores são necessários antes que a aproximação derivada desse teorema se torne razoável. No seu exemplo, para λ m = 1 / m , um n $n$$\lambda_m = 1/m$ é necessária antes que a aproximação normal é razoável.$n >> m$

EDITAR

Há uma discussão sobre como a CLT não se aplica às somas, mas sim para somas padronizados (ie não∑$\sum x_i / \sqrt n$ ). Em teoria, é claro que isso é verdade: a soma não padronizada terá uma distribuição indefinida na maioria dos casos.$\sum x_i$

No entanto, na prática, você certamente pode aplicar a aproximação justificada pelo CLT às somas! Se pode ser aproximado por um CDF normal para n grande , certamente F ∑ x também pode, pois a multiplicação por um escalar preserva a normalidade. E você pode ver isso imediatamente neste problema: Lembre-se que, se X i ~ P o i s ( λ ) , então Y = Σ n i = 1 X i ~ P o i s ( n λ $F_{\bar x}$$n$$F_{\sum x}$$X_i \sim Pois(\lambda)$$Y = \sum_{i = 1}^n X_i \sim Pois(n\lambda)$. E todos aprendemos em nosso curso de probabilidade da divisão superior que, para grandes , o CDF de um P o i s ( λ ) pode ser aproximado muito bem por um normal com μ = λ , σ 2 = λ . Portanto, para qualquer λ fixo , podemos aproximar o CDF de Y ∼ P o i s ( n λ ) razoavelmente bem com Φ ( y - n $\lambda$$Pois(\lambda)$$\mu = \lambda$$\sigma^2 = \lambda$ $\lambda$$Y \sim Pois(n\lambda)$$\Phi( \frac{y - n\lambda}{\sqrt{n\lambda} })$ for a large enough $n$ if $\lambda > 0$ (approximation can trivially be applied if $\lambda = 0$, but not the calculation of the CDF as I have written it).

While the CLT does not readily apply to sums, the approximation based on the CLT certainly does. I believe this is what the OP was referring to when discussing applying the CLT to the sum.

The question is, I argue, more interesting if thought about more generally, letting the distribution of the parent Poisson depend on $n$, say with parameter $\lambda_n$ and $\lambda_n = 1$ as a special case. I think it's perfectly reasonable to ask why, and how we can understand that, a central limit theorem does not hold for the sum $S_n = \sum_{i=1}^n X_{i,n}$. After all, it's common to apply a CLT even in problems where the distributions of the components of the sum depend on $n$. It's also common to decompose Poisson distributions as the distribution of a sum of Poisson variables, and then apply a CLT.

The key issue as I see it is that your construction implies the distribution of $X_{i, n}$ depends on $n$ in such a way that the parameter of the distribution of $S_n$ does not grow in $n$. If you would instead have taken, for example, $S_n \sim Poi(n)$ and made the same decomposition, the standard CLT would apply. In fact, one can think of many decompositions of a $Poi(\lambda_n)$ distribution that allows for application of a CLT.

The Lindeberg-Feller Central Limit Theorem for triangular arrays is often used to examine convergence of such sums. As you point out, $S_n \sim Poi(1)$ for all $n$, so $S_n$ cannot be asymptotically normal. Still, examining the Lindeberg-Feller condition sheds some light on when decomposing a Poisson into a sum may lead to progress.

A version of the theorem may be found in these notes by Hunter. Let $s_n^2 = \mathrm{Var(S_n)}$. The Lindeberg-Feller condition is that, $\forall \epsilon >0$:

$$\frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n\mathbb E[X_{i,n} - 1/n]^2I(\vert X_{i,n} - 1/n \vert >\epsilon s_n) \to 0,n\to\infty$$

Now, for the case at hand, the variance of the terms in the sum is dying off so quickly in $n$ that $s_n = 1$ for every $n$. For fixed $n$, we also have that the $X_{i,n}$ are iid. Thus, the condition is equivalent to

$$n\mathbb E[X_{1,n} - 1/n]^2I(\vert X_{1,n} - 1/n \vert >\epsilon) \to 0.$$

But, for small $\epsilon$ and large $n$,

$$\begin{align} n\mathbb E[X_{1,n} - 1/n]^2I(\vert X_{1,n} - 1/n \vert >\epsilon) &>n\epsilon^2P(X_{1,n}>0) \\ &=\epsilon^2n[1 - e^{-1/n}] \\ &= \epsilon^2n[1-(1 - 1/n + o(1/n))] \\ &= \epsilon^2 + o(1), \end{align}$$

which does not approach zero. Thus, the condition fails to hold. Again, this is as expected since we already know the exact distribution of $S_n$ for every $n$, but going through these calculations gives some indications of why it fails: if the variance didn't die off as quickly in $n$ you could have the condition hold.