Esta resposta fornecerá uma visão do que está acontecendo que leva a uma matriz de covariância singular durante a adaptação de um GMM a um conjunto de dados, por que isso está acontecendo e o que podemos fazer para evitar isso.
Portanto, é melhor começar recapitulando as etapas durante a adaptação de um Modelo de Mistura Gaussiana a um conjunto de dados.
0. Decida quantas fontes / clusters (c) você deseja ajustar aos seus dados
1. Inicialize os parâmetros como , covariância Σ c e fração_per_classe π c por cluster c
μcΣcπc
E- St e p---------
- Calcule para cada ponto de dados a probabilidade r i c que o ponto de dados x i pertence ao cluster c com:
r i c = π c N ( x i | μ c , Σ c )xEureu cxEu
queN(x|μ,Σ)descreve o gaussiano multivariado com:
N(xi,μc,Σc)=1reu c= πcN( xEu | μ c, Σc)ΣKk = 1πkN( xEu | μ k, Σk)
N( x | μ , Σ )
ricnos fornece, para cada ponto de dadosxi,a medida de:ProbabilitythatxibeLongstoclasN( xEu, μc, Σc) = 1 ( 2 π)n2| Σc|12e x p ( - 12( xEu- μc)TΣ- 1c( xEu- μc) ))
reu cxEu , por conseguinte, sexié muito próximo de um c de Gauss, que terá uma elevadaricvalor para esses valores gaussianos e relativamente baixos, caso contrário.
M-Step_
Para cada cluster c: Calcule o peso totalmcPr o b a b i l i t y that xi belongs to class cProbability of xi over all classesxEureu c
M-St e p----------
mc(falando livremente a fracção de pontos atribuídos ao aglomerado c) e atualizar , μ c , e Σ c utilizando r i c com:
m c = Σ i r i c π c = m cπcμcΣcreu c
mc = ΣEurEuc
μc=1πc = mcm
Σc=1μc = 1 mcΣEureu cxEu
Lembre-se de que você deve usar os meios atualizados nesta última fórmula.
Repita iterativamente os passos E e M até que a função de probabilidade logarítmica do nosso modelo converja para a qual a probabilidade logarítmica é calculada com:
lnp(X|π,μ,Σ)=Σ N i = 1 ln(Σ KΣc = 1 mcΣEureu c(xEu-μc)T(xEu-μc)
l n p (X | π,μ,Σ)= Σ Ni = 1 l n ( ΣKk = 1πkN( xEu | μ k, Σk) ))
XA X= XA = I
[ 00 00 00 0]
UMAXEuΣ- 1c0 0matriz de covariância acima se o Gaussiano multivariado cair em um ponto durante a iteração entre as etapas E e M. Isso pode acontecer se, por exemplo, tivermos um conjunto de dados no qual queremos ajustar 3 gaussianos, mas que na verdade consiste apenas de duas classes (clusters), de modo que, falando livremente, dois desses três gaussianos capturem seu próprio cluster enquanto o último gaussiano o gerencia apenas para pegar um único ponto em que está assentado. Vamos ver como isso se parece abaixo. Mas passo a passo: suponha que você tenha um conjunto de dados bidimensional que consiste em dois clusters, mas você não sabe disso e deseja ajustar três modelos gaussianos, ou seja, c = 3. Você inicializa seus parâmetros na etapa E e na plotagem os gaussianos em cima dos seus dados, que parecem smth. como (talvez você possa ver os dois grupos relativamente dispersos no canto inferior esquerdo e no canto superior direito):
μcπc
reu cc o vreu c
reu c= πcN( xEu | μ c, Σc)ΣKk = 1πkN( xEu | μ k, Σk)
reu creu cxEuxEuxEureu cxEureu creu cΣc = Σ Eureu c( xEu- μc)T( xEu- μc)
reu cxEu( xEu- μc)μcxEujμjμj= xnreu c
[ 00 00 00 0]
0 00 0matriz. Isso é feito adicionando um valor muito pequeno (no
GaussianMixture do sklearn, esse valor é definido como 1e-6) ao digonal da matriz de covariância. Também existem outras maneiras de impedir a singularidade, como perceber quando um gaussiano entra em colapso e definir sua matriz de média e / ou covariância para um novo valor arbitrariamente alto. Essa regularização de covariância também é implementada no código abaixo com o qual você obtém os resultados descritos. Talvez você precise executar o código várias vezes para obter uma matriz de covariância singular, pois, como dito. isso não deve acontecer a cada vez, mas também depende da configuração inicial dos gaussianos.
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import style
style.use('fivethirtyeight')
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal
# 0. Create dataset
X,Y = make_blobs(cluster_std=2.5,random_state=20,n_samples=500,centers=3)
# Stratch dataset to get ellipsoid data
X = np.dot(X,np.random.RandomState(0).randn(2,2))
class EMM:
def __init__(self,X,number_of_sources,iterations):
self.iterations = iterations
self.number_of_sources = number_of_sources
self.X = X
self.mu = None
self.pi = None
self.cov = None
self.XY = None
# Define a function which runs for i iterations:
def run(self):
self.reg_cov = 1e-6*np.identity(len(self.X[0]))
x,y = np.meshgrid(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]))
self.XY = np.array([x.flatten(),y.flatten()]).T
# 1. Set the initial mu, covariance and pi values
self.mu = np.random.randint(min(self.X[:,0]),max(self.X[:,0]),size=(self.number_of_sources,len(self.X[0]))) # This is a nxm matrix since we assume n sources (n Gaussians) where each has m dimensions
self.cov = np.zeros((self.number_of_sources,len(X[0]),len(X[0]))) # We need a nxmxm covariance matrix for each source since we have m features --> We create symmetric covariance matrices with ones on the digonal
for dim in range(len(self.cov)):
np.fill_diagonal(self.cov[dim],5)
self.pi = np.ones(self.number_of_sources)/self.number_of_sources # Are "Fractions"
log_likelihoods = [] # In this list we store the log likehoods per iteration and plot them in the end to check if
# if we have converged
# Plot the initial state
fig = plt.figure(figsize=(10,10))
ax0 = fig.add_subplot(111)
ax0.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1])
for m,c in zip(self.mu,self.cov):
c += self.reg_cov
multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c)
ax0.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3)
ax0.scatter(m[0],m[1],c='grey',zorder=10,s=100)
mu = []
cov = []
R = []
for i in range(self.iterations):
mu.append(self.mu)
cov.append(self.cov)
# E Step
r_ic = np.zeros((len(self.X),len(self.cov)))
for m,co,p,r in zip(self.mu,self.cov,self.pi,range(len(r_ic[0]))):
co+=self.reg_cov
mn = multivariate_normal(mean=m,cov=co)
r_ic[:,r] = p*mn.pdf(self.X)/np.sum([pi_c*multivariate_normal(mean=mu_c,cov=cov_c).pdf(X) for pi_c,mu_c,cov_c in zip(self.pi,self.mu,self.cov+self.reg_cov)],axis=0)
R.append(r_ic)
# M Step
# Calculate the new mean vector and new covariance matrices, based on the probable membership of the single x_i to classes c --> r_ic
self.mu = []
self.cov = []
self.pi = []
log_likelihood = []
for c in range(len(r_ic[0])):
m_c = np.sum(r_ic[:,c],axis=0)
mu_c = (1/m_c)*np.sum(self.X*r_ic[:,c].reshape(len(self.X),1),axis=0)
self.mu.append(mu_c)
# Calculate the covariance matrix per source based on the new mean
self.cov.append(((1/m_c)*np.dot((np.array(r_ic[:,c]).reshape(len(self.X),1)*(self.X-mu_c)).T,(self.X-mu_c)))+self.reg_cov)
# Calculate pi_new which is the "fraction of points" respectively the fraction of the probability assigned to each source
self.pi.append(m_c/np.sum(r_ic))
# Log likelihood
log_likelihoods.append(np.log(np.sum([k*multivariate_normal(self.mu[i],self.cov[j]).pdf(X) for k,i,j in zip(self.pi,range(len(self.mu)),range(len(self.cov)))])))
fig2 = plt.figure(figsize=(10,10))
ax1 = fig2.add_subplot(111)
ax1.plot(range(0,self.iterations,1),log_likelihoods)
#plt.show()
print(mu[-1])
print(cov[-1])
for r in np.array(R[-1]):
print(r)
print(X)
def predict(self):
# PLot the point onto the fittet gaussians
fig3 = plt.figure(figsize=(10,10))
ax2 = fig3.add_subplot(111)
ax2.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1])
for m,c in zip(self.mu,self.cov):
multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c)
ax2.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3)
EMM = EMM(X,3,100)
EMM.run()
EMM.predict()