Relação entre percentil e intervalo de confiança (média)

Essa pergunta surgiu no trabalho quando alguém me perguntou qual era a relação entre um percentil e um intervalo de confiança, e tive dificuldade em articular meus pensamentos. O contexto era uma pergunta muito simples em relação à estimativa de um intervalo de confiança de 95% na média da amostra.

Entendo que o teorema do limite central afirma que a distribuição amostral da média de qualquer variável aleatória independente será normal ou quase normal, se o tamanho da amostra for grande o suficiente. Portanto, a média da amostra possui uma distribuição normal que é o desvio padrão da amostra. $N(\bar{x}, s/\sqrt{n})$ $s$

Agora, digamos que a hipótese nula seja verdadeira. Então, sob a hipótese nula, o intervalo de confiança de 95% em torno da média da amostra é $H_0: \mu_{\bar{x}} = \mu$ $\mu_{\bar{x}} \pm 1.96 * s/\sqrt{n}$

A pergunta do meu colega de trabalho foi especificamente a seguinte: o erro padrão é apenas o desvio padrão da distribuição amostral da média. Assim, seria equivalente ao percentil 97,5 de uma distribuição criada pelo cálculo da média amostral de muitas amostras de tamanho ? $\mu_{\bar{x}} + 1.96 * s/\sqrt{n}$ $n$

A pergunta foi realmente estranha para mim, porque percentis e intervalos de confiança são dois conceitos separados e a pergunta do meu colega de trabalho estava perguntando sobre o relacionamento entre os dois, e fiquei muito confusa, mas não consegui articular meus pontos.

Qualquer ajuda seria muito apreciada!

confidence-interval quantiles mean

— Vincent
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Para meu entendimento, para criar o intervalo de confiança de 95% de bootstrap mais simples para uma estatística de interesse (aqui a média), você observa o percentil de 2,5% do vetor de valores de bootstrap (a distribuição da amostra) e o de 97,5%. Portanto, o percentil 2,5% é o limite inferior e o percentil 97,5% é o limite superior do IC 95%.

— Valentin

Seu colega de trabalho está correto, os intervalos de confiança são baseados nos percentis da distribuição amostral da estatística de interesse. Nesse caso, a estatística é . Os percentis de são diferentes. $\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum X_i$ $X$

Você pode tentar executar seu experimento de desenhar muitos e calcular seus percentis. Você encontrará uma boa concordância com a fórmula da teoria normal, desde que para cada seja grande o suficiente. E se você continuar pensando sobre isso, poderá acabar reinventando o bootstrap, que usa os percentis observados de para gerar muitos e depois usa os percentis dessa amostra gerada para criar um intervalo de confiança. $\hat{\mu}_i$ $n$ $\hat{\mu}_i$ $X$ $\hat{\mu}_i$

— rasta
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