Pergunta sobre a distribuição conjunta de variáveis aleatórias de Bernoulli sob restrição de que a soma deve ser 1

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Estou com um problema no trabalho. Alguém por favor pode me ajudar a fornecer a distribuição conjunta de $n$ Variáveis aleatórias de Bernoulli, mas sob a restrição de que a soma dessas $n$ variáveis aleatórias devem ser $1$ .

Alguém pode me mostrar como derivar essa distribuição?

— Cornel
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Essa é uma distribuição categórica, também conhecida como distribuição multinomial, com número de tentativas igual a $1$ .

Se as probabilidades binomiais são $q_k, \;k=1,\dots n$ então a probabilidade multinomial é

p_{k} = \frac{q_{k} \prod_{j \neq k} (1 - q_{j})}{\sum_{r} q_{r} \prod_{s \neq r} (1 - q_{s})}

$p_k=\frac {q_k\prod_{j\neq k} (1-q_j)}{\sum_r q_r\prod_{s\neq r}(1-q_s)}$

Para derivar isso, basta usar a probabilidade condicional $p (A_k|B)=p (A_kB)/p (B)$ Onde $A_k$ é o evento "variável $k$ é igual a $1$ "e $B$ é o evento "soma de tudo $n$ variáveis é igual a 1 ". Então você pode deduzir isso para ambos $A_k$ e $B$ para ser verdade, todas as outras variáveis bernoulli devem ser zero. Essa probabilidade é o numerador para o valor de $p_k$ Eu dei anteriormente. Então $p (B)=\sum_r p (A_rB)$ usando a lei da total probabilidade e independência e o denominador que eu dei.

— probabilityislogic
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Tem apenas $n$ maneiras pelas quais as variáveis podem somar $1$ : um deles será igual $1$ e o outro $n-1$ será igual a zero. O próprio fraseado da pergunta indica que as variáveis são permutáveis: assim, a distribuição conjunta não muda quando as variáveis são permutadas. Como as permutações das variáveis apenas mudam cada um desses resultados para outros, todas são igualmente prováveis . Consequentemente, a distribuição é a uniforme naqueles $n$ resultados, com probabilidade $1/n$ para cada resultado. Isso descreve completamente a distribuição conjunta.

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A questão original não assumia permutabilidade nem independência. Mas, sem fazer essa suposição, a única conclusão que podemos tirar é que a distribuição conjunta é uma distribuição no $n$ possíveis resultados que descrevi. As probabilidades podem ser qualquer $n$ valores não negativos que somam à unidade, conforme exigido pelos axiomas da probabilidade.

— whuber
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O OP parece agnóstico em relação à permutabilidade para mim - não diz que os RVs tenham a mesma distribuição bernoulli, apenas que existem

n

$n$ deles.

— probabilityislogic

@probability Esse é um bom ponto: o OP não assumiu explicitamente a permutabilidade. Por outro lado, nem eles assumiram independência - mas sem independência nada de valor pode ser dito.

— whuber

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