Intuição por trás da distribuição da lei de energia

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Eu sei que o pdf de uma distribuição de lei de energia é

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Mas o que significa intuitivamente se, por exemplo, os preços das ações seguem uma distribuição da lei de energia? Isso significa que as perdas podem ser muito altas, mas pouco frequentes?

distributions power-law

— Thomas James
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Esta é uma distribuição de cauda pesada, uma vez que o cdf é

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$ Portanto, a probabilidade de exceder

x

$x$ ,

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$ pode ser arbitrariamente próxima de

1

$1$ pela escolha correta de

α

$\alpha$ . Por exemplo, se alguém deseja que a probabilidade exceda

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ seja pelo menos

0.9

$0.9$ , deve-se escolher

α

$\alpha$ como no máximo

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$ uma curva representada abaixo, com o primeiro eixo sendo escalado por , não por ...

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ Renderização em curva R da função acima

— Xi'an
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Não é uma fonte revisada por pares, mas eu gosto desta nota da professora de estatística da CMU Cosma Shalizi . Ele também é autor deste artigo , sobre como estimar essas coisas a partir de dados.

— Sim
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Por isso fiz minha pergunta. Eu já li esse artigo. Sem equações, o que significa algo seguir uma distribuição da lei de energia?

— 9788 Thomas Thompson

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Bem-vindo ao site, Thomas! Você pode editar sua pergunta para dar uma indicação do que despertou seu interesse inicialmente. Geralmente, quanto mais informações, melhor. Por exemplo, afirmar que você leu a nota do Prof. Shalizi e isso fez você se perguntar sobre X não apenas antecipa respostas que sugerem exatamente isso, mas também mostra mais claramente sua linha de raciocínio, que tende a obter melhores respostas. :) (Por exemplo, você leu o artigo de revisão de M. Mitzenmacher em Internet Mathematics ?)

— cardeal

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O artigo Leis de Poder em Economia e Finanças pode ajudar a obter intuição sobre leis de poder. Xavier Gabaix afirma que a lei do poder (PL) é a forma adotada por um grande número de regularidades empíricas surpreendentes em economia e finanças. Sua revisão pesquisa PLs empíricos bem documentados sobre renda e riqueza, tamanho de cidades e empresas, retornos do mercado de ações, volume de negócios, comércio internacional e remuneração de executivos.

Intuição para a distribuição de Pareto

Pareto (wikipedia) descreveu originalmente a alocação de riqueza entre indivíduos: grande parte da riqueza de qualquer sociedade pertence a uma pequena porcentagem de pessoas. Sua idéia expressa mais simplesmente como o princípio de Pareto ou a "regra 80-20" diz que 20% da população controla 80% da riqueza.

A cauda certa das distribuições de renda e riqueza muitas vezes se assemelha a Pareto

Se a distribuição de renda for Pareto, pode-se derivar expressões simples para a parcela dos 1% superiores ou dos 10% superiores. Em seguida, a parte do percentil superior do qt da renda total pode ser derivada como:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

onde é o parâmetro de forma. Essa expressão implica que um mais baixo corresponde a uma cauda mais grossa da distribuição de Pareto e, portanto, uma parcela maior da renda total é capturada pelos indivíduos em percentis mais altos da distribuição. Por exemplo, com , o compartilhamento de 1% superior é 10% e, com , é 4%. $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— emeryville
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Uma propriedade interessante da distribuição da lei do poder vem de analisá-la em escala logarítmica. Se temos então a transformação logarítmica . Ou seja, os valores de têm uma distribuição exponencial na escala logarítmica. $X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

Agora, uma propriedade importante da distribuição exponencial é que ela possui uma taxa de risco constante. Escrevendo a taxa de risco para por meio dos primeiros princípios (como uma densidade condicional em sua forma limite) e ajustando-a para enquadrá-la em termos de , obtemos: $Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P (x ⩽ X ⩽ x e^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$ . Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$ , which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$ , and any small value $\ln \delta$ , we have:

P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value $^\dagger$ .

$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.

— Reinstate Monica
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