Expectativa de

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Seja $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ e seja independente. Qual é a expectativa de $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

É fácil encontrar $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ por simetria. Mas eu não sei como encontrar a expectativa de $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . Poderia, por favor, fornecer algumas dicas?

O que obtive até agora

Eu queria encontrar $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ por simetria. Mas esse caso é diferente do caso de $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ porque $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ pode não ser igual a $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ . Então, eu preciso de algumas outras idéias para encontrar a expectativa.

De onde vem esta pergunta

$\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{Eu \neq j} E (\frac{X_{Eu}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1 1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{Eu} E (\frac{X_{Eu}^{4}}{(X_{1 1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ para obter outras expectativas.

— Michael Hardy
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A distribuição de é qui-quadrado (e também um caso especial de gama). $X_i^2$

A distribuição de é, portanto, beta. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

A expectativa do quadrado de uma versão beta não é difícil.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Esta resposta expande a resposta de @ Glen_b.

Fato 1: Se , , , são variáveis aleatórias de distribuição normal padrão independentes, então a soma de seus quadrados tem a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Em outras palavras, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1 1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Portanto, e . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Fato 2: Se e , então $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1 1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Portanto, . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Fato 3: Se , então e $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V uma r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Portanto, e

E (Y) = \frac{1 1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V uma r (Y) = \frac{2 (d - 1 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Finalmente,

E (Y^{2}) = V uma r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
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@ NP-hard: Parece que você de fato fez esta pergunta para poder responder a essa pergunta ? Por que não mencionar isso?

— joriki

@joriki Obrigado. Vou adicionar o link à pergunta.