Como expressar células de uma tabela 2x2 em termos de coeficiente phi e probabilidades marginais

Considere uma tabela típica de frequências 2x2 (mostrada nesta imagem): Notação: A variável da linha é denotada R e assume os valores 0 ou 1; a variável da coluna é denominada C e assume os valores 0 ou 1. As células da tabela indicam a frequência de cada combinação de R e C; por exemplo, é a frequência de R = 0 e C = 1. Para os propósitos da minha pergunta, suponha que as contagens de células sejam divididas pelo total, de modo que os valores das células sejam as probabilidades conjuntas das células .

$b$

Quero expressar as probabilidades das células em termos do coeficiente phi (que é uma medida de correlação com a fórmula fornecida abaixo) e as probabilidades marginais: e . Ou seja, desejo inverter o seguinte sistema de quatro equações: e, é claro, . Em outras palavras, eu gostaria de resolver para , , , e , em termos de $\mu_R\equiv p(R\!=\!1) = c+d$ $\mu_C\equiv p(C\!=\!1) = b+d$

\begin{aligned} (by defn) & ϕ & \equiv (a d - b c) / \sqrt{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \\ (by defn) & μ_{R} & = c + d \\ (by defn) & μ_{C} & = b + d \\ (constraint) & 1 & = a + b + c + d \end{aligned}

$\begin{align} \phi &\equiv (ad-bc)/\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \tag{by defn}\\ \mu_{R} &= c+d \tag{by defn}\\ \mu_{C} &= b+d \tag{by defn}\\ 1 &= a+b+c+d \tag{constraint} \end{align}$

0 \leq a, b, c, d \leq 1

$0 \le a,b,c,d \le 1$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\phi$ , e . $\mu_{R}$ $\mu_{C}$

Esse problema provavelmente já foi resolvido por alguém antes, mas minhas pesquisas não forneceram uma fonte e minhas fracas tentativas de álgebra não produziram uma resposta, e não consigo encontrar inversores on-line de sistema de equação (não linear) que lidam com este caso. .

contingency-tables simultaneous-equation

— John K. Kruschke
fonte

Reconhecemos facilmente todos os fatores no denominador de , porque e . Portanto, vamos começar com uma pequena simplificação para evitar escrever muitas raízes quadradas: $\phi$ $a+b=1-\mu_R$ $a+c=1-\mu_C$

Δ = a d - b c = ϕ \sqrt{μ_{R} (1 - μ_{R}) μ_{C} (1 - μ_{C})} .

$\Delta=ad - bc = \phi \sqrt{\mu_R(1-\mu_R)\mu_C(1-\mu_C)}.$

Vamos encontrar : $d$

\begin{aligned} d & = (1) d = (a + b + c + d) d = a d + b d + c d + d^{2} \\ = a d + (- b c + b c) + b d + c d + d^{2} \\ = (a d - b c) + (c + d) (b + d) \\ = Δ + μ_{R} μ_{C} . \end{aligned}

$\eqalign{d &= (1)d = (a+b+c+d)d = ad +bd +cd + d^2 \\ &= ad + (-bc + bc) + bd + cd + d^2 \\ &= (ad - bc) + (c+d)(b+d) \\&= \Delta + \mu_R\mu_C.}$

A localização de , e ocorre da mesma forma devido às simetrias do problema: trocar as colunas alterna e , e , enquanto altera para e , de onde $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\mu_C$ $1-\mu_C$ $\Delta$

c = - Δ + μ_{R} (1 - μ_{C}) .

$c = -\Delta + \mu_R(1-\mu_C).$

A permuta entre as permutas fileiras e , e , enquanto mudando a e negação , donde $a$ $c$ $b$ $d$ $\mu_R$ $1-\mu_R$ $\Delta$

b = - Δ + (1 - μ_{R}) μ_{C} .

$b = -\Delta + (1-\mu_R)\mu_C.$

Trocar linhas e colunas gera

a = Δ + (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C}) .

$a = \Delta + (1-\mu_R)(1-\mu_C).$

Dadas essas expressões para , é simples verificar se e , e apenas um pouco mais difícil de verifique se . $a,b,c,d$ $a+b+c+d=1, c+d=\mu_R,$ $b+d=\mu_C$ $ad-bc=\Delta$

— whuber
fonte

Uma observação para outras pessoas que possam usar esta resposta (correta!): Pode gerar valores de a, b, c ou d negativos. Em outras palavras, nem todas as combinações de phi em [-1,1], mu_R em [0,1] e mu_C em [0,1] podem ser criadas por matrizes de probabilidade. Para whuber: Obrigado!

— John K. Kruschke

Está correto, John, mas não mencionei esse fato porque, presumivelmente, , e foram obtidos de uma tabela válida em primeiro lugar. Assumindo que e são frequências válidas (no intervalo ), será real. Ele deve estar no intervalo

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

ϕ

$\phi$

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

[0, 1]

$[0,1]$

Δ

$\Delta$

[- min (μ_{R} μ_{C}, (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C})), min (μ_{R} (1 - μ_{C}), (1 - μ_{R}) μ_{C})] .

$[-\min(\mu_R\mu_C, (1-\mu_R)(1-\mu_C)), \ \min(\mu_R(1-\mu_C), (1-\mu_R)\mu_C)].$

— whuber