Como está o

Estou tentando entender o $\chi^2$ -distribuição. A Wikipedia possui o seguinte gráfico para a função de densidade de probabilidade:

Este gráfico mostra que, para $k = 1$ , o PDF será ... infinito? O modo do $\chi^2$ -distribuição é definida como $max \{k − 2, 0\}$ , tão $f_1(0) = ?$

Em outros gráficos na Web, parecia que ele foi mais alto do que $1$ . Como aqui:

Obviamente, a função de distribuição cumulativa se aproxima $1$ para todos os graus de liberdade:

Eu não entendo por que a função de distribuição de probabilidade se comporta dessa maneira $0$ para qualquer $k$ . Como está o $\chi^2$ -distribuição definida em torno de $0$ ?

mathematical-statistics chi-squared

— CamilB
fonte

Você já olhou a fórmula para sua densidade? Isso responde imediata e completamente à sua pergunta.

— whuber

Sinto que o que você realmente está perguntando é se faz sentido que o CDF seja delimitado em 1, quando o PDF chega ao infinito em zero. É isso?

— Antoni Parellada

@AntoniParellada: o que estou perguntando é mais: como é reconciliado que o PDF para

k = 1

$k = 1$ é tão alto quando se aproxima de 0, com o fato de que o CDF é (e deve ser) limitado em

1

$1$ . Parece que a integração do PDF renderia algo muito mais alto do que

1

$1$ .

— CamilB 12/07/19

Parece que você precisa ler stats.stackexchange.com/questions/4220/… .

— whuber

O seu sentimento de que a área sob o pdf seria maior que 1 devido ao modo como aumenta à medida que se aproxima da origem não é incomum (considerando um gráfico da densidade para

0 < x < 0.1

$0<x<0.1$ digamos), mas é uma impressão equivocada. Observe que, como

x \to 0

$x\to 0$ a densidade fica muito perto de

\frac{c}{\sqrt{x}}

$\frac{c}{\sqrt{x}}$ (sempre abaixo dele para a escolha certa de

c

$c$ ) No entanto, a maioria das pessoas consideraria o inverso desse limite superior

\frac{c^{2}}{y^{2}}

$\frac{c^2}{y^2}$ vs

y

$y$ para

y > 1.2

$y>1.2$ digamos) - sem se preocupar com a explosão na área (e por boas razões - isso não acontece). Percepções pode ser enganado por um flip eixo simples

— Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

O pdf de um $\chi^2$ distribuição é $f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp(-x/2).$

Então, só precisamos avaliar a expressão para $f(0;k)$ .

f (0; 1) = \infty

$f(0;1)=\infty$

f (0; 2) = 0.5

$f(0;2)=0.5$

f (0; 3) = 0

$f(0;3)=0$ E assim por diante. O código R para isso é dchisq(0,k)positivo k. É realmente interessante apenas para

k = 2

$k= 2$ Porque

f (0; k)

$f(0;k)$ é infinito para

0 < k < 2

$0<k<2$ e 0 para

k > 2

$k>2$ .

— Sycorax diz restabelecer Monica
fonte

Muito obrigado por sugerir R, tentarei traçar a função para ter uma idéia melhor.

— CamilB

Alguém poderia argumentar que não é especialmente interessante em

x = 0

$x=0$ para qualquer valor df diferente de 2, pois ele sempre vai para o infinito como

x \to 0

$x\to 0$ (para

k < 2

$k<2$ ) ou é

0

$0$ (para

k > 2

$k>2$ )

— Glen_b -Reinstar Monica

@Glen_b Esse é realmente um ponto muito bom: o único valor interessante de

f (0; k)

$f(0;k)$ é

2

$2$ exatamente.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

Vamos tentar voltar à definição dessa distribuição e ver o que acontece em torno de 0.

Por definição, o $\chi^2$ distribuição é a da soma dos quadrados das variáveis aleatórias normais independentes:

Y = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}^{2},

$Y = \sum_{i=1}^k Z_i^2 ,$ (veja a página da wikipedia ). Vemos facilmente que o valor da densidade é

0

$0$ para

k \geq 3

$k\geq 3$ e

.5

$.5$ para

k = 2

$k=2$ . Para

k = 1

$k=1$ , o caso é um pouco diferente.

Vamos considerar exatamente esse caso para resolver sua pergunta: por uma mudança de variável, temos $y=g(z)=z^2$ de tal modo que:

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} (g^{- 1} (y)) | \cdot f_{Z} (g^{- 1} (y)) = | \frac{d}{d y} (\sqrt{y}) | \cdot f_{Z} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} π} \exp (- y / 2)

$f_Y(y) = \left| \frac{d}{dy} (g^{-1}(y)) \right| \cdot f_Z(g^{-1}(y))\\ = \left| \frac{d}{dy} (\sqrt{y}) \right| \cdot f_Z(\sqrt{y})\\ = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\pi} \exp(-y/2)$

Entendemos um fato básico, o $\chi_1$ não está definido em $0$ porque a operação quadrática nesse ponto é plana $g(0)=0$ e assim que $g^{-1}(0)$ não está definido (infinito).

— meduz
fonte

Como mostra a matemática, o fato de que a densidade é indefinida em

0

$0$ segue de dois fatos. Não basta que

g^{'} (0) = 0

$g^\prime(0)=0$ . Além disso, você precisa disso

f_{Z} (0) \neq 0

$f_Z(0) \ne 0$ .

— whuber