Correlação entre seno e cosseno

Suponha que seja distribuído uniformemente em . Vamos e . Mostre que a correlação entre e é zero. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Parece que eu precisaria saber o desvio padrão do seno e do cosseno e sua covariância. Como posso calcular isso?

Eu acho que preciso assumir que tem distribuição uniforme, e o olhar para as variáveis transformadas e . Então a lei do estatístico inconsciente daria o valor esperado $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ e

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(a densidade é constante, pois é uma distribuição uniforme e, portanto, pode ser movida para fora da integral).

No entanto, essas integrais não estão definidas (mas acho que os valores principais de Cauchy são zero).

Como eu poderia resolver esse problema? Acho que conheço a solução (a correlação é zero porque seno e cosseno têm fases opostas), mas não consigo descobrir como derivá-la.

— uklady
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Como afirmado, seu problema não está definido adequadamente. Correlação é um conceito que se aplica a variáveis aleatórias, não a funções. (Formalmente, uma variável aleatória é um tipo de função, ou seja, uma função mensurável de um espaço de probabilidade para os números reais equipados com a medida de Borel. Mas apenas dizer "a função seno" não diz nada sobre a medida de probabilidade na domínio, que é o que você obtém informações probabilística, incluindo distribuições conjuntas).

— Kodiologist

Se eu presumir que o tempo é uma variável aleatória uniforme ( no meu texto), não é possível fazer isso? Quero dizer, eu estaria olhando para a correlação de duas variáveis aleatórias transformadas.

X

$X$

— uklady

Então você quer uniformemente distribuído e depois define e ? Tudo bem, exceto que você também precisa especificar o suporte da densidade de , já que não há distribuição uniforme em todo ou qualquer outro intervalo infinitamente longo.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

Talvez eu possa tomar como suporte (eu estaria assumindo que , para que o intervalo contenha um ciclo completo). Eu acho que os problemas de integração, em seguida, desaparecer assim

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Se você fizer isso, precisará desenhar apenas um gráfico de dispersão - nenhuma integração é necessária. Esse gráfico de dispersão é uma distribuição uniforme no círculo unitário (obviamente). Como o círculo é simétrico sob qualquer reflexão através da origem, a correlação é igual a seu negativo, de onde deve ser zero, QED .

— whuber

Desde a

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

a correlação também deve ser 0.

— Kodiologist
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Eu realmente gosto do argumento @ whuber de simetria e não quero que seja perdido como um comentário, então aqui está um pouco de elaboração.

Considere o vetor aleatório , onde e , para . Então, como parametriza o círculo unitário pelo comprimento do arco, é distribuído uniformemente no círculo unitário. Em particular, a distribuição de é a mesma que a distribuição de . Mas então $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

então deve ser que . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Apenas um belo argumento geométrico.

— Matthew Drury
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