Como podemos obter uma distribuição normal como

Vamos dizer que temos uma variável aleatória com uma gama de valores delimitada por $a$ e $b$ , onde $a$ é o valor mínimo e $b$ o valor máximo.

Disseram-me que, como $n \to \infty$ , onde $n$ é o tamanho da nossa amostra, a distribuição amostral da nossa amostra é uma distribuição normal. Ou seja, à medida que aumentamos $n$ nos aproximamos cada vez mais de uma distribuição normal, mas o limite real como $n \to \infty$ é igual a uma distribuição normal.

No entanto, não faz parte da definição da distribuição normal que ela deve estender de $- \infty$ para $\infty$ ?

Se o máximo do nosso intervalo for $b$ , a média máxima da amostra (independentemente do tamanho da amostra) será igual a $b$ , e a média mínima da amostra será igual a $a$ .

Assim, parece-me que mesmo se tomarmos o limite como $n$ se aproxima do infinito, nossa distribuição não é uma distribuição normal real, porque é delimitada por $a$ e $b$ .

O que estou perdendo ?

— jeremy radcliff
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Respostas:

Aqui está o que você está perdendo. A distribuição assintótica não é de $\bar{X}_n$ (a média da amostra), mas de $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ , onde $\theta$ é a média de $X$ .

Deixe- ser iid variáveis aleatórias de tal forma que e tem média e variância . Assim tem apoio limitada. A CLT diz que $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

onde é a média da amostra. Agora $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

Como , o limite inferior e o limite superior tendem a e respectivamente e, portanto, como o suporte de $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ é exatamente toda a linha real. $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

Sempre que usamos o CLT na prática, dizemos , e isso sempre será uma aproximação. $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

EDIT: Eu acho que parte da confusão é da má interpretação do Teorema do Limite Central. Você está certo de que a distribuição amostral da média da amostra é

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

No entanto, a distribuição amostral é uma propriedade finita da amostra. Como você disse, queremos deixar ; uma vez que fazemos que a sinal será um resultado exato. No entanto, se deixarmos , não poderemos mais ter um no lado direito (já que é agora ). Portanto, a seguinte declaração está incorreta $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[Aqui significa convergência em termos de distribuição]. Queremos anotar o resultado com precisão, para que não esteja no lado direito. Aqui agora usamos propriedades de variáveis aleatórias para obter $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

Para ver como a álgebra funciona, veja a resposta aqui .

— Greenparker
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{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$ come from? Why are we interested in that distribution and not the distribution of

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$ ?

— jeremy radcliff

(cont'd) Is this about normalizing the distribution of the sample means? Is this where the square root comes from? Does it have to do with

Z

$Z$ scores?

— jeremy radcliff

@jeremyradcliff I have edited my answer, and included a link that explains some of the details. Hope this makes more sense now.

— Greenparker

Thank you so much for taking the time to edit, the link you provided is exactly what I was looking for. And you're right, the problem was that I had trouble reconciling the finite nature of the sampling distribution and the fact that we are taking

n

$n$ to

\infty

$\infty$ .

— jeremy radcliff

If you're referring to a central limit theorem, note that one proper way to to write it out is

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

under normal conditions ( $\mu, \sigma$ being the mean and standard deviation of $x_i$ ).

With this formal definition, you can see right away that the left hand side can take on values for any finite range given a large enough $n$ .

To help connect to the for informal idea that "a mean approaches a normal distribution for large $n$ ", we need to realize that "approaches a normal distribution" means that the CDF's get arbitrarily close to a normal distribution as $n$ gets large. But as $n$ gets large, the standard deviation of this approximate distribution shrinks, so the probability of an extreme tail of the approximating normal also goes to 0.

For example, suppose $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$ . Then you could use the informal approximation to say that

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

So while it is true that for any finite $n$ ,

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(implying the approximation is clearly never perfect), as $n \rightarrow \infty$ ,

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

So that discrepancy between the actual distribution and approximate distribution is disappearing, as is supposed to happen with approximations.

— Cliff AB
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