Probabilidade de que pontos aleatoriamente uniformes em um retângulo tenham distância euclidiana menor que um determinado limite

Suponha que temos pontos em um retangular com limite , e esses pontos são distribuídos uniformemente neste plano. (Não conheço bem as estatísticas, portanto não sei a diferença entre escolher uniformemente um nó na área ou escolher uniformemente o eixo- de e eixo de independentemente).$n$$[0,a] \times [0,b]$$[0,a] \times [0,b]$$x$$[0,a]$$y$$[0,b]$

Dado um limite de distância , talvez eu queira saber a probabilidade de que a distância euclidiana de dois pontos seja menor que ou, mais precisamente, a distância de quantos pares de nós será menor que ?$d$$d$$d$

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Talvez a descrição a seguir seja inequívoca.

Deixe-me especificar este problema. Dados nós e limite . Esses pontos são distribuídos uniformemente em um retângulo . Denote uma variável aleatória como o número de pares de pontos dentro da distância . Encontre .$n$$d$$n$$[0,a] \times [0,b]$$\xi$$d$$E[\xi]$

Podemos resolver esse problema analiticamente usando alguma intuição e argumentos geométricos . Infelizmente, a resposta é bastante longa e um pouco confusa.

Configuração básica

Primeiro, vamos definir uma notação. Suponha que desenhamos pontos uniformemente aleatoriamente a partir do retângulo . Assumimos sem perda de generalidade que . Seja as coordenadas do primeiro ponto e sejam as coordenadas do segundo ponto. Então, , ,$[0,a] \times [0,b]$$0 < b < a$$(X_1,Y_1)$$(X_2,Y_2)$$X_1$$X_2$$Y_1$e $Y_2$ são mutuamente independentes com $X_i$ distribuído uniformemente em $[0,a]$ e $Y_i$ distribuído uniformemente em $[0,b]$.

Considere a distância euclidiana entre os dois pontos. Isto é

$$D = \sqrt{(X_1-X_2)^2 + (Y_1-Y_2)^2} =: \sqrt{ Z_1^2 + Z_2^2} \> ,$$ Onde $Z_1 = |X_1-X_2|$ e $Z_2 = |Y_1-Y_2|$.

Distribuições triangulares

Desde a $X_1$ e $X_2$ são uniformes independentes, então $X_1 - X_2$ tem uma distribuição triangular, de onde $Z_1 = |X_1 - X_2|$ tem uma distribuição com função de densidade

$$f_a(z_1) = \frac{2}{a^2}(a-z_1) ,\quad 0 < z_1 < a \> .$$ A função de distribuição correspondente é $F_a(z_1) = 1 - (1-z_1/a)^2$ para $0 \leq z_1 \leq a$. Similarmente,$Z_2 = |Y_1 - Y_2|$ tem densidade $f_b(z_2)$ e função de distribuição $F_b(z_2)$.

Note que desde $Z_1$ é uma função apenas dos dois $X_i$ e $Z_2$ é uma função apenas do $Y_i$, então $Z_1$ e $Z_2$são independentes. Portanto, a distância entre os pontos é a norma euclidiana de duas variáveis ​​aleatórias independentes (com distribuições diferentes).

O painel esquerdo da figura mostra a distribuição de $X_1 - X_2$ e o painel direito mostra $Z_1 = |X_1 - X_2|$ Onde $a = 5$ neste exemplo.

Alguma probabilidade geométrica

assim $Z_1$ e $Z_2$ são independentes e são suportados em $[0,a]$ e $[0,b]$respectivamente. Para fixo$d$, a função de distribuição da distância euclidiana é

$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\newcommand{\rd}{\,\mathrm{d}} \Pr(D \leq d) = \iint_{\{z_1^2+z_2^2 \leq d^2\}} f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2 \> .$$

Podemos pensar nisso geometricamente como tendo uma distribuição no retângulo e considerando um quarto de círculo de raio . Gostaríamos de saber a probabilidade que existe dentro da interseção dessas duas regiões. Há três possibilidades diferentes a serem consideradas:$[0,a] \times [0,b]$$d$

Região 1 (laranja): . Aqui o quarto de círculo fica completamente dentro do retângulo.$0 \leq d < b$

Região 2 (vermelha): . Aqui o quarto de círculo cruza o retângulo ao longo das bordas superior e inferior.$b \leq d \leq a$

Região 3 (azul): . O quarto de círculo cruza o retângulo ao longo das bordas superior e direita.$a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

Aqui está uma figura, onde desenhamos um raio de exemplo de cada um dos três tipos. O retângulo é definido por , . O mapa de calor em escala de cinza no retângulo mostra a densidade que as áreas escuras têm maior densidade e as áreas mais claras, com menor densidade. Clicar na figura abrirá uma versão maior dela.$a = 5$$b = 4$$f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2$

Algum cálculo feio

Para calcular as probabilidades, precisamos fazer algum cálculo. Vamos considerar cada uma das regiões, por sua vez, e veremos que uma integral comum surgirá. Essa integral tem uma forma fechada, embora não seja muito bonita.

Região 1 : .$0 \leq d < b$

$$\newcommand{\radius}{\sqrt{d^2 - y^2}} \Pr(D \leq d) = \int_0^d \int_0^{\radius} f_b(y) f_a(x) \rd x \rd y = \int_0^d f_b(y) \int_0^{\radius} f_a(x) \rd x \rd y \>.$$

Agora, a integral interna produz . Portanto, resta calcular uma integral da forma onde neste caso de interesse . A antiderivada do integrando é $\frac{1}{a^2}\radius (2 a - \radius)$

$$G(c) - G(0) = \int_0^c (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \> ,$$ $c = d$ $$\begin{align*} G(y) &= \int (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \\ &= \frac{a}{3} \radius ( y (3 b - 2 y) + 2 d^2) \\ &\quad + \,a b d^2 \tan^{-1}\Big(\frac{y}{{\scriptstyle \radius}}\Big) - b d^2 y \\ &\quad + \,\frac{b y^3}{3} + \frac{(d y)^2}{2} - \frac{y^4}{4} \> . \end{align*}$$

A partir disso, obtemos que .$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(d) - G(0))$

Região 2 : .$b \leq d \leq a$

$$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(0)) \>,$$ pelo mesmo raciocínio que para a Região 1, mas agora precisamos integrar ao longo do eixo até vez de apenas .$y$$b$$d$

Região 3 : . $a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

$$\begin{align*} \Pr(D \leq d) &= \int_0^\sqrt{d^2-a^2} f_b(y)\rd y + \int_{\sqrt{d^2-a^2}}^b f_b(y) \int_{0}^\radius f_a(x) \rd x \rd y \\ &= F_b(\sqrt{d^2-a^2}) + \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(\sqrt{d^2-a^2})) \end{align*}$$

Abaixo está uma simulação de 20000 pontos onde plotamos a distribuição empírica como pontos cinzas e a distribuição teórica como uma linha, colorida de acordo com a região específica que se aplica.

A partir da mesma simulação, abaixo, plotamos os 100 primeiros pares de pontos e desenhamos linhas entre eles. Cada um é colorido de acordo com a distância entre o par de pontos e em qual região essa distância se encaixa.

O número esperado de pares de pontos dentro da distância é simplesmente pela linearidade da expectativa.$d$

$$\mathbb E[\xi] = {n \choose 2} \Pr(D \leq d) \>,$$

Se os pontos são realmente uniformemente distribuídos, ou seja, em um padrão conhecido fixo, para qualquer distância d, você pode simplesmente fazer um loop sobre todos os pares e contar os que estão à distância. Sua probabilidade é (esse número / n).

Se você tem a liberdade adicional de escolher como os n pontos são distribuídos / escolhidos, essa é a versão retangular do paradoxo de Bertrand . Essa página mostra várias maneiras de responder a essa pergunta com base em como você distribui seus pontos.