Precisão vs. área sob a curva ROC

Eu construí uma curva ROC para um sistema de diagnóstico. A área sob a curva foi então estimada não parametricamente como AUC = 0,89. Quando tentei calcular a precisão na configuração de limite ideal (o ponto mais próximo do ponto (0, 1)), obtive a precisão do sistema de diagnóstico em 0,8, que é menor que a AUC! Quando verifiquei a precisão em outra configuração de limite que está muito longe do limite ideal, obtive a precisão igual a 0,92. É possível obter a precisão de um sistema de diagnóstico na melhor configuração de limite mais baixa do que a precisão em outro limite e também mais baixa que a área sob a curva? Veja a imagem em anexo, por favor.

É realmente possível. A chave é lembrar que a precisão é altamente afetada pelo desequilíbrio de classe. Por exemplo, no seu caso, você tem mais amostras negativas do que amostras positivas, desde quando o FPR ( $=\frac{FP}{FP+TN}$ ) está próximo de 0 e TPR (= ) é 0,5, sua precisão (=TP+T$\frac{TP}{TP+FN}$ ) ainda é muito alto.$= \frac{TP+TN}{TP+FN+FP+TN}$

Em outras palavras, como você tem muito mais amostras negativas, se o classificador predizer 0 o tempo todo, ele ainda obterá uma alta precisão com o FPR e o TPR perto de 0.

O que você chama de configuração de limite ideal (o ponto mais próximo do ponto (0, 1)) é apenas uma das muitas definições para o limite ideal: não necessariamente otimiza a precisão.

Ok, lembre-se da relação entre a (taxa de falsos positivos), T P R (taxa de verdadeiro positivo) e A C $FPR$$TPR$$ACC$ (precisão):

$$TPR = \frac{\sum \text{True positive}}{\sum \text{Positive cases}}$$

$$FPR = \frac{\sum \text{False positive}}{\sum \text{Negative cases}}$$

$$ACC = \frac{TPR \cdot \sum \text{Positive cases} + (1-FPR) \cdot \sum \text{Negative cases}}{\sum \text{Positive cases} + \sum \text{Negative cases}}$$

$ACC$$TPR$$FPR$

$$ACC = \frac{TPR + 1 - FPR}{2}$$

$N_- \gg N_+$

$$ACC(N_- \gg N_+) \approx 1-FPR$$ $ACC$$FPR$

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Veja este exemplo, os negativos superam os positivos 1000: 1.

data = c(rnorm(10L), rnorm(10000L)+1)
lab = c(rep(1, 10L), rep(-1, 10000L))
plot(data, lab, col = lab + 3)
tresh = c(-10, data[lab == 1], 10)
do.call(function(x) abline(v = x, col = "gray"), list(tresh))

pred = lapply(tresh, function (x) ifelse(data <= x, 1, -1))
res = data.frame(
  acc = sapply(pred, function(x) sum(x == lab)/length(lab)),
  tpr = sapply(pred, function(x) sum(lab == x & x == 1)/sum(lab == 1)),
  fpr = sapply(pred, function(x) sum(lab != x & x == 1)/sum(lab != 1))
)

res[order(res$acc),]

#> res[order(res$acc),]
#           acc tpr    fpr
#12 0.000999001 1.0 1.0000
#11 0.189110889 1.0 0.8117
#9  0.500099900 0.9 0.5003
#2  0.757742258 0.8 0.2423
#5  0.763136863 0.7 0.2368
#4  0.792007992 0.6 0.2078
#10 0.807292707 0.5 0.1924
#3  0.884215784 0.4 0.1153
#7  0.890709291 0.3 0.1087
#6  0.903096903 0.2 0.0962
#8  0.971428571 0.1 0.0277
#1  0.999000999 0.0 0.0000

Veja, quando fpr0 accé o máximo.

E aqui está o ROC, com precisão anotada.

plot(sort(res$fpr), sort(res$tpr), type = "S", ylab = "TPR", xlab = "FPR")
text(sort(res$fpr), sort(res$tpr), pos = 4L, lab = round(res$acc[order(res$fpr)], 3L))
abline(a = 0, b = 1)
abline(a = 1, b = -1)

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$AUC$

1-sum(res$fpr[-12]*0.1)
#[1] 0.74608

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A conclusão é que você pode otimizar a precisão de uma maneira que resulte em um modelo falso ( tpr= 0 no meu exemplo). Como a precisão não é uma boa métrica, a dicotomização do resultado deve ser deixada para o tomador de decisão.

$TPR = 1-FPR$ , porque dessa forma os dois erros têm peso igual, mesmo que a precisão não seja ótima.

Quando você tem classes desequilibradas, otimizar a precisão pode ser trivial (por exemplo, prever todos como classe majoritária).

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$AUC$

• Área sob a curva do ROC vs. precisão geral

• Precisão e área sob a curva ROC (AUC)

E o mais importante de tudo: por que a AUC é mais alta para um classificador menos preciso do que para um que é mais preciso?