Distribuição máxima de entropia de uma proporção com média e variância conhecidas? É uma versão beta?

Dada uma proporção e seu erro padrão, que premissa distributiva minimiza suposições / maximiza entropia? É o beta (e posso usar o método dos momentos para estimar seus parâmetros)? Ou alguma outra coisa?

— generic_user
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É uma distribuição normal truncada . Isso é uma consequência do teorema de Boltzmann .

A análise a seguir fornece os detalhes necessários para implementar uma solução prática.

A Normal $(\mu,\sigma)$ distribuição $F$ truncado para o intervalo $[0,1]$ surge tomando uma variável normal padrão $X$ com distribuição de probabilidade $\Phi$ , dimensionando-o $\sigma$ , deslocando-o para $\mu$ e truncando-o para $[0,1]$ . Equivalentemente - trabalhando para trás - a variável original $X$ deve ter sido truncado para o intervalo $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$ onde tinha uma probabilidade total de

\begin{matrix} (1) & C = Φ (\frac{1 1 - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ}), \end{matrix}

$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$

expectativa

μ_{1 1} = \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 1 - μ}{σ}} x \exp (\frac{- x^{2}}{2}) d x,

$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$

e segundo momento (bruto)

μ_{2} = \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 1 - μ}{σ}} x^{2} \exp (\frac{- x^{2}}{2}) d x .

$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$

Presumivelmente, seu "erro padrão" é $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$ ou algum múltiplo constante disso.

Essas integrais podem ser calculadas em termos de

\begin{matrix} 2) & μ_{1 1} (z) = \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} x \exp (\frac{- x^{2}}{2}) d x = - \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{z^{2}}{2}) \end{matrix}

$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$

e, integrando por partes,

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} μ_{2} (z) & = \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} (x) (x \exp (\frac{- x^{2}}{2})) d x \\ = \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} (x (- \exp (- \frac{x^{2}}{2})) ∣_{- \infty}^{z} - \int_{- \infty}^{z} - \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x) \\ = - \frac{1 1}{C \sqrt{2 π}} z \exp (- \frac{z^{2}}{2}) + \frac{1 1}{C} Φ (z) . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$

portanto

μ_{1 1} = μ_{1 1} (\frac{1 1 - μ}{σ}) - μ_{1 1} (\frac{- μ}{σ})

$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$

μ_{2} = μ_{2} (\frac{1 1 - μ}{σ}) - μ_{2} (\frac{- μ}{σ}) .

$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$

Esses cálculos $(1)$ , $(2)$ e $(3)$ pode ser implementado em qualquer software em que exponenciais, raízes quadradas e $\Phi$ Estão disponíveis. Isso permite a aplicação em qualquer procedimento de ajuste, como método de momentos ou probabilidade máxima. Qualquer um exigiria soluções numéricas.

— whuber
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