Lei da regra da expecação total / torre: Por que as duas variáveis ​​aleatórias devem ter o mesmo espaço de probabilidade?

Cito (ênfase minha) da definição da Wikipedia :

A proposição na teoria da probabilidade conhecida como lei da expectativa total, ..., afirma que se X é uma variável aleatória integrável (isto é, uma variável aleatória que satisfaz E (| X |) <∞) e Y é qualquer variável aleatória, não necessariamente integrável, no mesmo espaço de probabilidade , então

$$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$$

Não entendo o que eles significam com o mesmo espaço de probabilidade e não sei por que essa é uma parte importante da definição. Veja o exemplo mais abaixo na página:

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas ao mercado. As lâmpadas da fábrica X funcionam por uma média de 5000 horas, enquanto as lâmpadas da fábrica Y funcionam por uma média de 4000 horas. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% do total de lâmpadas disponíveis. Qual é o período de tempo esperado para o funcionamento de uma lâmpada comprada?

As variáveis ​​aleatórias aqui parecem ser:

1. A quantidade de tempo que uma lâmpada dura.
2. De que fábrica é originária a lâmpada.

Como esses dois podem ter o mesmo espaço de probabilidade?

Eu não entendo o que eles querem dizer com o mesmo espaço de probabilidade

Esse é o problema.

A maneira padrão de pensar nos objetos da teoria das probabilidades (variáveis ​​aleatórias, distribuições etc.) é através dos axiomas de Kolmogorov . Esses axiomas estão enquadrados na linguagem da teoria da medida , mas é bem possível entender casos simples sem qualquer teoria da medida.

Basicamente, um modelo de probabilidade consiste em três coisas: um conjunto , cujos elementos individuais você pode considerar como resumindo o "verdadeiro estado do mundo" (ou pelo menos tudo o que você precisa saber sobre ele); uma coleção de subconjuntos de (cujos elementos são os eventos possíveis cuja probabilidade você pode precisar medir); e uma medida de probabilidade , que é uma função que pega um evento e cospe um número (cuja interpretação é a probabilidade de o evento ocorrer). O triplo é conhecido como espaço de probabilidadeF Ω P E ∈ F P ( E ) ∈ [ 0 , 1 ] E ( Ω , F , P $\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$P$$E \in \mathcal{F}$$P(E) \in [0, 1]$$E$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ desde que satisfaça certas propriedades naturais (por exemplo, a probabilidade de uma união de muitos eventos disjuntos é a soma de suas probabilidades).

Nesta estrutura, uma variável aleatória é uma função de a . No seu exemplo, temos duas variáveis ​​aleatórias: (a quantidade de tempo que uma lâmpada dura) e (de onde vem a lâmpada).Ω R T $X$$\Omega$$\mathbb{R}$$T$$F$

Como esses dois podem ter o mesmo espaço de probabilidade?

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$T, F : \Omega \to \mathbb{R}$$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$$(f, t) \in \Omega$$f$$t$$T(f, t) = t$$F(f, t) = f$$(T, F)$$\mathcal{F}$$P$

Eu não entendo ... por que essa é uma parte importante da definição

$E[X \mid Y]$$X$$Y$$X$$Y$