Quando a linha de regressão ao quadrado mínimo (LSQ) é igual à linha de desvio mínimo absoluto (LAD)?

Eu tenho a seguinte pergunta em mãos.

Suponha $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{10},y_{10})$ representa um conjunto de observações bi-variáveis $(X,Y)$ de tal modo que $x_2=x_3=\cdots =x_{10}\ne x_1.$ Em que condições a linha de regressão com mínimos quadrados da $Y$ em $X$ ser idêntico à linha de desvio mínimo absoluto?

Eu sei que dizemos que queremos encontrar $\hat{\alpha}$ e $\hat\beta$ de tal modo que $Y=\hat\alpha+\hat\beta X$; o método LSQ dará

$$\hat\beta={\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i-\bar x)y_i\over \sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)x_i}$$ e, portanto $\hat\alpha$. Alguém pode me ajudar a prosseguir?

Algumas dicas para ajudá-lo a obter algumas dicas

1. Crie ou gere alguns dados consistentes com as condições da pergunta. Tentar$x_1=0, y_1=0$ e $x_2..x_{10}=1$ (escolhendo alguns valores para $y_i$, $i=2,...,10$) Onde as linhas passam em relação ao primeiro ponto?

2. Agora comece como acima, mas tente colocar $y_i$, $i=2,...,10$por exemplo 1,2,3,4,5,6,7,8,9, respectivamente. Para onde vão as linhas?

   

3. Agora coloque $y_i$, $i=2,...,10$por exemplo 1,2,3,4,5,6,7,8,99, respectivamente. Para onde vão as linhas?

   

   O que é especial / interessante sobre os valores ajustados para as duas linhas em $x=1$?

   (Se não estiver claro, tente outros valores para $y_{10}$.)

   

4. Você pode provar que esse é o caso de maneira mais geral?

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Em última análise, isso nos leva a uma pergunta visual, relacionada a quando meios e medianas são iguais no caso univariado. (Existe uma condição simples e óbvia que é suficiente, mas não é necessária.)

Existem várias postagens no site que discutem o outro caso. Existem alguns exemplos interessantes aqui