Probabilidade de sobreviver a um evento três vezes

Se tiver 60% de chance de algo acontecer (como a morte devido a um diagnóstico médico), qual é a probabilidade de a pessoa sobreviver três vezes?

Por exemplo, 40% das pessoas sobreviverão. Quantos sobreviverão três vezes?

Estou correto com o seguinte?

Total Outcomes: 300 (60 die, 40 survive = 100 * 3 events = 300)
Odds: 40 / 300 = 13.33~%

Então 13% das pessoas sobreviverão a um diagnóstico fatal de 60% se forem diagnosticadas 3 vezes?

Sem variáveis extras, cada incidente é isolado e não afeta o subsequente.

probability independence

— Patrick
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Bem vindo ao nosso site! Esta é uma pergunta de um curso ou livro? Em caso afirmativo, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki . Obrigado por nos mostrar sua própria tentativa.

— Silverfish

Absolutamente não. Na verdade, sou um engenheiro de software sênior, tão embaraçoso quanto isso é questionado. Só sei que calcular coisas como LRs pode ser um pouco entorpecedor para mim, embora este seja um exemplo muito simples ... não como testes de diagnóstico. Obrigado!

— Patrick Patrick

A propósito ... enquanto na linguagem cotidiana "probabilidades", "probabilidade" e "probabilidade" têm o mesmo significado, na verdade são termos técnicos bem diferentes! O que você está falando neste sistema é realmente "probabilidade". As "probabilidades" são, na verdade, mais parecidas com as probabilidades de jogos de azar, expressando uma relação entre resultados favoráveis e desfavoráveis, embora seu formato varie - temos uma discussão sobre "Odds Made Simple" . E "probabilidade" é algo um pouco mais complicado que faz mais sentido quando se sabe sobre variáveis aleatórias

— Silverfish

Quando você escreve "Nenhuma variável extra, cada incidente é isolado e não afeta o subsequente", a palavra matemática para isso é que elas são independentes . E para os eventos independentes e , a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é . Além disso, se houver três eventos independentes , e , a probabilidade de todos os três ocorrerem é dada por . Se cada evento tiver probabilidade , a probabilidade desejada será de

A

$A$

B

$B$

P (A) \times P (B)

$P(A) \times P(B)$

A

$A$

B

$B$

C

$C$

P (A) \times P (B) \times P (C)

$P(A) \times P(B) \times P(C)$

0.4

$0.4$

{0.4}^{3} = 0.064 = 6.4 %

$0.4^3 = 0.064 = 6.4\%$

— Silverfish 5/16

Não se preocupe. Eu já vi muitos engenheiros seniores (e juniores), químicos, físicos, especialistas em história ou o que faz cálculos de probabilidade muito piores do que você ... que a vida e os membros estavam seguindo.

— Mark L. Stone

Para alguma intuição, imagine que começamos com cem pessoas. (Minha abordagem de visualização de probabilidades, considerando os possíveis resultados de um grande grupo de pessoas, é inspirada no trabalho do programa Winton para a compreensão pública do risco na Universidade de Cambridge, liderada por David Spiegelhalter. Veja, por exemplo, essa animação de risco de câncer . )

Então, apenas sobrevivem ao primeiro incidente. Isso deixa apenas quarenta pessoas. $40\%$

Então, apenas desses sobreviventes também sobrevivem ao segundo incidente. Isso deixa dos quarenta, que são dezesseis pessoas. A probabilidade de uma das cem pessoas sobreviver ao primeiro e ao segundo incidentes é claramente dezesseis em cem, ou seja, . $40\%$ $40\%$ $\frac{16}{100} = 0.16 = 16\%$

Agora você pode ver como isso se estende ao terceiro incidente?

Como a fração sombreada da área do quadrado representa a probabilidade desejada, pode ajudar a dispensar a ideia de cem pessoas imaginárias e considerar apenas um quadrado medindo uma unidade por uma unidade. Se eu recolorir levemente o diagrama anterior e cortar os lados em proporções de e , em vez de quatro e seis pessoas, obtemos o seguinte: $0.4$ $0.6$

Talvez isso dê uma intuição geométrica para a multiplicação de probabilidades para dois eventos independentes.

Essencialmente, resolvemos probabilidades de eventos independentes da mesma maneira que resolvemos qualquer pergunta "encontre uma proporção de uma proporção": por multiplicação. Se você deseja encontrar de , calcula . É isso que estamos fazendo, mas com as proporções interpretadas como probabilidades independentes. $40\%$ $40\%$ $0.4 \times 0.4 = 0.16 = 16\%$

— Silverfish
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Resposta fantástica, obrigado. Exatamente o que eu estava procurando ... responda mais mais para me ajudar a entender completamente.

— Patrick

Em resumo, este exemplo simples seria o mesmo que as probabilidades decrescentes do lançamento de moeda 50/50 "consecutivas", exceto que estamos lidando com 40/60?

— Patrick

@ Patrick direito, mesmos princípios, apenas probabilidades diferentes. Se você jogar 100 moedas, mas apenas manter as que mostram cara, você esperaria descer para 50 depois de 1 lançamento e para 25 após 2 lançamentos, então a probabilidade de duas caras seguidas é 25/100 ou 0,25. Alternativamente, basta fazer . Ou imaginando o quadrado subdividido no final da minha resposta, ele seria cortado exatamente em quatro partes, de modo que a probabilidade de cabeça no primeiro e no segundo lance é de um quarto.

P (h e a d) \times P (h e a d) = {0.5}^{2} = 0.25

$P(head) \times P(head) = 0.5^2 = 0.25$

— Silverfish

como você fez as paradas?

— EngrStudent

A planilha do @EngrStudent LibreOffice Calc, apenas mexendo nas cores e bordas do plano de fundo das células, e depois em algumas caixas de texto na última. As planilhas codificadas por cores são muito boas para esse tipo de coisa. A idéia de olhar para 100 pessoas foi inspirada no trabalho do programa Winton para a compreensão pública do risco na Universidade de Cambridge, liderada por David Spiegelhalter. Veja, por exemplo, esta animação de risco de câncer . Editará isso em resposta, na verdade.

— Silverfish