Combinação linear de duas variáveis aleatórias normais multivariadas dependentes

Suponha que temos dois vetores de variáveis aleatórias, ambos são normais, ou seja, e . Estamos interessados na distribuição de sua combinação linear , onde e são matrizes, é um vetor. Se e forem independentes, . A questão está no caso dependente, assumindo que sabemos a correlação de qualquer par . Obrigado. $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

Muitas felicidades, Ivan

probability normal-distribution multinomial

— Ivan
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Respostas:

Nesse caso, você deve escrever (com notações claras) ( editado: assumindo a normalidade conjunta de ) Então e ie

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— Xi'an
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Caso seja ignorado, observe que o tópico de comentário para outra resposta indica (a) esses cálculos de covariância são bons (entendendo que envolvem uma notação de matriz de bloco natural, mas não declarada), mas (b) não podemos concluir validamente que as combinações lineares são normalmente distribuído até que façamos uma suposição adicional; ou seja, que e têm uma distribuição normal multivariada conjunta .

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Você poderia explicar como chegou de a na última linha? Eu teria pensado que e o resultado não simplifica mais. Aqui não é uma matriz simétrica, pois seu -ésimo elemento é enquanto seu -ésimo elemento é , e não há razão para que essas covariâncias sejam iguais.

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: (+1) você está certo, no caso geral, não há razão para esses dois termos serem iguais.

— Xian

Sua pergunta não tem uma resposta única, como é atualmente colocado, a menos que você assuma que e são normalmente distribuídos em conjunto com o bloco superior direito . Eu acho que você quer dizer isso porque diz que tem cada covariância entre X e Y. Nesse caso, podemos escrever que também é normal multivariada. então é dado em termos de como: $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

Então você usa sua fórmula usual para combinação linear. Observe que a média é inalterada, mas a matriz de covariância possui dois termos extras adicionados $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilityislogic
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Obrigado por apontar esse problema, na verdade, eu nem pensei nisso, mas parece que as variáveis podem realmente ser vistas, no meu caso, como normalmente distribuídas em conjunto, mesmo que seus componentes estejam correlacionados.

— 1526 Ivan Ivan

Concordo que a questão não pode ser resolvida como foi colocada. Ele pode ser resolvido de uma maneira simples , se um assume, como @ A resposta de Xian faz, que e , em conjunto, normalmente distribuídos. Poderia ser solucionável, presumivelmente com mais dificuldade, se a distribuição da articulação fosse especificada como algo diferente da normal da articulação. Mas apenas conhecer para todos , não significa que é normal multivariada . Quaisquer duas variáveis aleatórias com variações finitas têm uma covariância. A covariância não é definida apenas para variáveis aleatórias normais ou conjuntamente normais.

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— Dilip Sarwate

No meu caso, X e Y são normais em conjunto; tentarei explicar o porquê; por favor, corrija-me se estiver errado. Suponha que exista um conjunto de RVs normais univariados independentes. Cada elemento de X e Y é uma combinação linear arbitrária dessas variáveis univariadas do conjunto. Portanto, uma vez que as variáveis iniciais são independentes e apenas transformações lineares são envolvidas, os vetores resultantes X, Y e Z são todos rv normais normais multivariados. Segue a definição de um rv normal multivariado, em que deve ser um rv normal univariado para qualquer vetor . Isso faz sentido?

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— 1526 Ivan Ivan

@Ivan Sua explicação faz sentido, mas a reclamação é sobre a afirmação "Suponha que tenhamos dois vetores de variáveis aleatórias, ambos são normais, ou seja, e ", o que não significa que e sejam conjuntamente normais . Tampouco dizer que "sabemos a correlação de qualquer par " significa que e são conjuntamente normais , embora, como você declara corretamente, implique que seja normal (e da mesma forma para .) Normalidade univariada

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ não implica normalidade das articulações. Veja a referência abaixo.

— precisa

@Ivan Veja a discussão após esta pergunta

— Dilip Sarwate

Combinação linear de duas variáveis ​​aleatórias normais multivariadas dependentes

Combinação linear de duas variáveis aleatórias normais multivariadas dependentes