Variância do máximo de variáveis aleatórias gaussianas

Dadas as variáveis aleatórias $X_1,X_2, \cdots, X_n$ amostra amostrada de , defina $\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

Z = max_{i \in {1, 2, \dots, n}} X_{i}

$Z = \max_{i \in \{1,2,\cdots, n \}} X_i$

Temos esse $\mathbb{E}[Z] \le \sigma \sqrt{2 \log n}$ . Eu queria saber se existem limites superiores / inferiores em $\text{Var}(Z)$ ?

— Diabo
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Apenas para começar, acho que você encontrará que

V a r (Z) \leq σ^{2}

$Var(Z) \le \sigma^2$ (a igualdade é alcançada em n = 1) e Var (Z) diminui à medida que n aumenta. Deixo a você fornecer esse limite mais estreito em função de n.

— Mark L. Stone

A amostra máxima menos a amostra mínima é conhecida como intervalo estudado e segue a distribuição do intervalo estudado se as variáveis aleatórias subjacentes forem normais para o IDI. Isso está pelo menos vagamente relacionado ao que você está perguntando ... (poderia dar um ponto de partida para a leitura). De volta à sua pergunta específica, tenho certeza de que você poderia escrever uma simulação de Monte-Carlo com bastante facilidade para encontrar uma resposta prática.

— Matthew Gunn

Ambas as respostas para stats.stackexchange.com/questions/105745 fornecem aproximações ao desvio padrão (e, portanto, à variação), usando análises que podem produzir limites superiores ou inferiores.

— whuber

Relacionados: stats.stackexchange.com/questions/77110/...

— b Kjetil Halvorsen

Respostas:

Você pode obter um limite superior aplicando a desigualdade de Talagrand: veja o livro de Chatterjee (fenômeno da superconcentração, por exemplo).

Ele diz que . ${\rm Var}(f)\leq C\sum_{i=1}^n\frac{\|\partial_if\|_2^2}{1+\log( \|\partial_i f||_2/\|\partial_i f\|_1)}$

Para o máximo, você obtém , ao integrar com relação à medida gaussiana em obtém por simetria. (Aqui eu escolho todo o meu IDI com variação um). $\partial_if=1_{X_i=max}$ $\mathbb{R}^n$ $\|\partial_if\|_2^2=\|\partial_if\|_1=\frac{1}{n}$

Essa é a verdadeira ordem da variação: como você tem um limite superior na expectativa do máximo, este artigo de Eldan-Ding Zhai (Em vários picos e desvio moderado do supremo gaussiano) diz que
${\rm Var}(\max X_i)\geq C/(1+\mathbb{E}[\max X_i])^2$

Também é possível obter uma desigualdade acentuada de concentração refletindo esses limites na variação: você pode consultar http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf ou, para um processo gaussiano mais geral , no meu artigo https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

Em geral, é bastante difícil encontrar a ordem correta de magnitude da variação de um supremo de Gaussien, uma vez que as ferramentas da teoria da concentração são sempre abaixo do ideal para a função máxima.

Por que você precisa desse tipo de estimativa, se posso perguntar?

— Tanguy Kevin
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Observe que a desigualdade de Talagrand é uma melhoria da desigualdade de Poincaré satisfeita pela medida gaussiana padrão. Há mais sobre isso no artigo de Cordero-Ledoux "Medidas hipercontrativas, desigualdade e influências de Talagrand".

— precisa

Muito obrigado. Isso ajuda muito. Eu estava lidando com o problema em que estava tentando limitar a probabilidade de erros ao estimar o comprimento das execuções de 0 em um fluxo de bits a partir de observações através de um canal de exclusão. Depois de uma aproximação gaussiana, o máximo parecia ser um estimador natural, e eu achei que limitar seu desempenho não era trivial. No meu problema específico, eu poderia encontrar uma maneira de contorná-lo, reduzindo-o a um problema de estimativa do Gaussian MMSE.

— Devil dia

De um modo mais geral, a expectativa e a variação do intervalo dependem da gordura da cauda de sua distribuição. Para a variância, é onde depende da sua distribuição ( para uniforme, para Gaussiano e para exponencial.) Veja aqui . A tabela abaixo mostra a ordem de magnitude para o intervalo. $O(n^{-B})$ $B$ $B = 2$ $B = 1$ $B = 0$

— Vincent Granville
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Variância do máximo de variáveis ​​aleatórias gaussianas

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