Modelagem de um resultado de vitória-empate-perda no esporte

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Tenho dados sobre diferentes equipes, jogadores etc. Estou tentando descobrir a melhor maneira de modelar o resultado de uma partida, que pode terminar em uma vitória para o time da casa, uma perda para o time da casa ou um empate. Estou tendo problemas para modelar isso.

Por exemplo, posso usar uma regressão de Poisson para modelar o número de objetivos que cada equipe marca e depois calcular uma grade de suas probabilidades, mas não estou muito feliz com a suposição de independência. Eu também poderia fazer um poisson bivariado, com o qual não tenho muita experiência. Gostaria de saber o que é uma abordagem adequada para modelar a dependência do resultado nas duas equipes, além de preservar o fato de que os resultados são mutuamente exclusivos (as probabilidades atribuídas à perda de empate na vitória devem somar unidade).

regression modeling poisson-distribution

— dimebucker91
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Por que não tentar modelar a diferença de gol esperada em vez de modelar o gol marcado entre as duas equipes de forma independente?

— Antoine Vernet

Não tenho a resposta, mas segui este site fazendo o mesmo que você pretende. Eles fizeram previsões para o Euro 2016 e compararam com a aleatoriedade e a razão de chances do site de apostas. Acontece que a taxa de chances real é um pouco melhor do que as previsões: kickoff.ai

— Metariat 18/08/16

Isso pode ajudá-lo - drewdez.com/projects/march-madness-metaprediction.html & github.com/harvitronix/kaggle-march-madness-2016

— Nishad

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Você pode usar a distribuição Poisson bivariada com função de massa de probabilidade

f (x, y) = \exp {- (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3})} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} \sum_{k = 0}^{min (x, y)} (\binom{x}{k}) (\binom{y}{k}) k! {(\frac{λ_{3}}{λ_{1} λ_{2}})}^{k}

$f(x,y) = \exp\{-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\} \frac{\lambda_1^x}{x!} \frac{\lambda_2^y}{y!} \sum^{\min(x,y)}_{k=0} {x \choose k} {y \choose k} k!\left(\frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k$

onde e e , para que você possa tratar como uma medida de dependência entre os dois marginais Distribuições de Poisson. O pmf e a geração aleatória para esta distribuição são implementados no pacote extraDistr se você estiver usando R. $E(X) = \lambda_1+\lambda_3$ $E(Y) = \lambda_2+\lambda_3$ $\mathrm{cov}(X,Y) = \lambda_3$ $\lambda_3$

De fato, essa distribuição foi descrita em termos de análise de dados esportivos por Karlis e Ntzoufras (2003), para que você possa verificar o artigo deles para obter mais detalhes. Esses autores em seu artigo anterior discutiram também o modelo univariado de Poisson, onde concluíram que a suposição de independência fornece uma aproximação justa, já que a diferença entre os escores de ambas as equipes não depende do parâmetro de correlação do bivariado de Poisson (Karlis e Ntzoufras, 2000).

Kawamura (1984) descreveu a estimativa de parâmetros para a distribuição bivariada de Poisson por pesquisa direta, utilizando a máxima verossimilhança. Quanto aos modelos de regressão, você pode usar o algoritmo EM para estimativa de máxima verossimilhança, como Karlis e Ntzoufras (2003), ou modelo bayesiano estimado usando MCMC. O algoritmo EM para regressão bivariada de Poisson é implementado no pacote bivpois (Karlis e Ntzoufras, 2005) que infelizmente está sem CRAN neste momento.

Karlis, D. & Ntzoufras, I. (2003). Análise de dados esportivos usando modelos bivariados de Poisson. Jornal da Sociedade Estatística Real: Série D (The Statistician), 52 (3), 381-393.

Karlis, D. e Ntzoufras, I. (2000) Na modelagem de dados de futebol. Student, 3, 229-244.

Kawamura, K. (1984). Cálculo direto do estimador de máxima verossimilhança para a distribuição bivariada de Poisson. Jornal matemático Kodai, 7 (2), 211-221.

Karlis, D. e Ntzoufras, I. (2005). Poisson bivariado e modelos de regressão bivariada diagonal de Poisson em R. Journal of Statistical Software, 14 (10), 1-36.

— Tim
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O Poisson bivariado não acomoda correlação negativa entre e . Um modelo para isso pode ser construído aplicando a função quantílica de Poisson a cada componente de uma cópula gaussiana. A função de massa probabilística bivariada resultante é facilmente calculada em R com o código a seguir, onde o vetor contém os parâmetros das duas distribuições marginais de Poisson e é a correlação da distribuição binormal padrão. $x_1$ $x_2$ lambdarho

library(mvtnorm)
dbipoisgausscopula <- function(x, lambda, rho) {
   pmvnorm(lower=qnorm(ppois(x-1,lambda)),
      upper=qnorm(ppois(x,lambda)),
      mean=c(0,0),
      sigma=matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)
   )
}

— Jarle Tufto
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