Estimando o CAPM Beta via OLS Regresson

Estou estudando econometria na terceira edição da 'Introdução à Econometria', de James H. Stock e Mark W. Watson.

Na página 166, ele se diverte na versão beta do estoque. Diz

Esses betas são tipicamente estimados por regressão OLS do excesso de retorno real das ações contra o excesso de retorno real em um amplo índice de mercado.

Meu entendimento pela linguagem é que o beta da ação é o coeficiente do regressor, que é o excesso de retorno do índice de mercado. Isso é:

$$(R - R_{f}) = \beta_{0} + \beta(R_{m}-R_{f})+u.$$

Assim, estimar o retorno de um estoque

$$\hat{R}-R_{f}=\hat{\beta_{0}}+\hat{\beta}(R_{m}-R_{f}).$$

No entanto, por algum motivo estranho, quando faço problemas nos trabalhos de casa, ele usa a seguinte equação para estimar retornos:

$$\hat{R}-R_{f}=\hat{\beta}(R_{m}-R_{f}).$$

É isso que impõe $\beta_{0} = 0$.

Não tenho dúvida de que meu entendimento está incorreto. Qualquer ajuda seria muito apreciada.

Como Stephen menciona, a confusão está entre: (1) o CAPM vs. (2) o modelo de mercado.

Deixei $R^f$denotar a taxa livre de risco. Costumamos trabalhar com retornos excedentes , o que envolve subtrair a taxa livre de risco.

Alguns modelos simples para retornos esperados

1. `Modelo de mercado"

   $$R_t - R^f = \alpha + \beta\left(R^m_t - R^f \right) + \epsilon_t$$ $$E\left[ R_t \right] - R^f = \alpha + \beta\left(E[R^m_t] - R^f \right)$$ O modelo de mercado é um modelo estatístico simples e pode ser justificado assumindo que a distribuição conjunta dos retornos mensais das ações é normal multivariada.

2. Modelo de precificação de ativos de capital (CAPM)

   $$E\left[ R_t\right] - R^f = \beta\left(E[R^m_t] - R^f \right)$$ O CAPM é uma teoria econômica de que os retornos em excesso esperados de uma ação são lineares no excesso de retorno do mercado, que$\alpha = 0$ da regressão do modelo de mercado.

Esteja ciente de que o CAPM não funciona. É tudo sobre finanças corporativas do MBA, mas as pessoas que avaliam os ativos consideram inútil. Algo menos louco de usar seria o Modelo de 3 Fatores Fama-Francês .

Exemplo de como usar o CAPM (ou qualquer um desses modelos de fator de precificação de ativos).

1. Calcular retornos excedentes: $R_{i,t} - R^f_t$
2. Regressar retornos excedentes sobre retornos excedentes do mercado e uma constante (ou seja, executar a regressão do modelo de mercado). $$R_{i,t} - R^f_t = \alpha_i + \beta_i \left( R^m_t - R^f_t \right) + \epsilon_{i,t}$$
3. Ignore a estimativa $\hat{\alpha}$.
4. O retorno esperado em excesso estimado de acordo com o CAPM é $\hat{\beta_i} E[R^m_t - R^f_t]$.

Se bem me lembro, isso tem algo a ver com uma constante chamada alfa de Jensen e a extensão a algo chamado modelo multifatorial. Durante minhas aulas (e também a Wikipedia), o CAPM foi declarado da seguinte forma:

$$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] = R_{f} + \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$ Ao receber retornos excedentes, basta ter: $$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] - R_{f} = \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$

E isso é bom. No entanto, essa relação pressupõe que todas as informações possam ser obtidas apenas da carteira de mercado acima da taxa livre de risco (ou seja,$\hat{\beta_0} =0$) No entanto, pode ser que o seu retorno específico$R_i$desviar-se dos retornos observados no portfólio de mercado. Nesse caso, vamos adicionar uma constante$\beta_0$ para o modelo, então temos:

$$\begin{align} R_i - R_f= \beta_0 + \beta_{1}(R_{m} - R_{f}) + \epsilon \end{align}$$ e ao tomar expectativas $$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] - R_{f} =\hat{\beta_0}+ \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$ Agora, suponha que você calcule as estimativas de $\hat{\beta_0} , \hat{\beta_1}$usando OLS. Você terá agora duas estimativas para os parâmetros. A maneira como você geralmente usa o $\hat{\beta_0}$ é realizando um teste t simples:

1: Antes de testar, você deve verificar se os erros padrão estão corretos. Observe que o teste t depende diretamente dos erros padrão serem homosquásticos, portanto, lembre-se de que você provavelmente precisará usar erros padrão robustos, como Eicker-Huber-White ou Newey-West.

2: Depois de verificar se os erros padrão da sua equação de regressão estão em ordem, basta olhar para o teste t individual para $\hat{\beta_0}$. Com base na hipótese de

$$\begin{align} H_0 : \beta_0 = 0 \quad vs \quad H1: \beta_0 \ne 0 \end{align}$$ Com base na rejeição da hipótese nula ou na falha de rejeitá-la, podemos distinguir entre três casos.

1: $\hat{\beta_0} =0$. Nesse caso, seu retorno esperado$\mathbb{E}[R_i] - R_f$ nem supera nem apresenta desempenho inferior em relação ao mercado (que é o que sua lição de casa está assumindo aqui).

2:$\hat{\beta_0} > 0$. Aqui, seu retorno está superando o mercado. Nesse caso, o portfólio de mercado não pode explicar completamente seu retorno e são necessários fatores adicionais (modelo de três fatores ou modelos multifatoriais).

3:$\hat{\beta_0}< 0$. O mesmo que acima, só que desta vez o retorno está com baixo desempenho em relação ao portfólio de mercado.

Em suma, a inclusão ou não desse termo depende de você assumir que nenhum fator adicional é necessário. Se a pergunta indicar que$R_i$pode ser completamente explicado apenas pelo portfólio de mercado. Você pode simplesmente definir esse termo como zero. Na prática, você executaria uma hipótese estatística para testar se é significativamente diferente de zero ou não (alfa de Jensen).