Por que

Nesta página central do AP Variações Aleatórias vs. Variáveis ​​Algébricas , o autor Peter Flanagan-Hyde faz uma distinção entre variáveis ​​algébricas e aleatórias.

Em parte ele diz

$x + x = 2x$ , mas $X + X \neq 2X$

- de fato, é o subtítulo do artigo.

Qual é a diferença básica entre uma variável algébrica e uma variável aleatória?

Então, vamos abordar esta questão primeiro: '' Qual é a diferença básica entre uma variável algébrica e uma variável aleatória? ''

Uma variável aleatória $X$ não é de todo uma variável algébrica. Formalmente, que é definida como uma função de um espaço probabilidade $\Omega$ para $\mathbb R$ .

OK ... O que isso realmente significa é que você realiza experimentos aleatórios (por exemplo, jogar um dado, escolher um humano aleatório) e toma medidas nesses experimentos (por exemplo, número no dado face superior, altura, sexo, nível de colesterol do ser humano ) O conjunto $\Omega$ é o conjunto de todas as experiências possíveis. Em um experimento específico $\omega\in\Omega$ , você faz uma medida $X(\omega)$ : é por isso que formalmente é uma função de $\Omega$ para $\mathbb R$ .

Agora, em geral, esquecemos totalmente $\Omega$ . As variáveis ​​aleatórias são definidas em termos de sua lei de probabilidade. No caso de um dado justo, você apenas diz

• parak=1,…,6(a probabilidade deXigual a$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$ é 1/6 para de 1 a 6),$k$

ao invés de

• (o conjunto de dados sobre o qual a medida$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$ - face superior - é tem probabilidade 1/6) ...$k$

É mais simples. Você pode até mesmo evitar incomodar os alunos com .$\Omega$

Espero que isso libere algum tipo de luz.

Agora o que esse cara meio por não é que a soma de tal medida um com o próprio não é duas vezes esta medida - infelizmente, é o que ele escreve. O que ele quer dizer é que a soma de duas dessas medidas, realizadas em experimentos diferentes, não tem a mesma lei que duas vezes por medida. Isso pode ser escrito como X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (o fato de X 1 e X 2 terem a mesma distribuição não implica que X 1$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$ tem a mesma distribuição que ).$2 X_1$

[Uma versão anterior da pergunta pediu uma resposta que evitasse completamente a matemática; essa resposta foi uma tentativa de fornecer alguma motivação intuitiva, em um nível semelhante ao documento que está sendo questionado.]

A página vinculada está incorreta quando diz que $X+X\neq 2X$ .

No exemplo $X$ uma variável aleatória representa o número exibido na face de um dado - o resultado de um experimento como "rolar um dado de seis lados uma vez e registrar o número na face do dado".

Então você joga um dado e anota o que viu. Qualquer número que você gravaria é ... então X + $X$$X+X$ representa o resultado adicionado a si mesmo. Se você rolar outro dado, esse número que você anotaria antes não muda.

Mais tarde na página diz:

Quando dois dados são lançados, porém, os resultados são diferentes. Chame a variável aleatória que representa os resultados do processo de dois dados (para "dois"). Poderíamos escrever T = X + X . Essa equação representa o fato de que T é o resultado de duas instâncias independentes da variável aleatória $T$$T = X + X$$T$$T$

O final dessa citação é presumivelmente um erro tipográfico, eles significam não T (pois se foi T, eles acabaram de dizer que T era o resultado de duas instâncias). Mas com essa substituição ainda está incorreta.$X$$T$$T$$T$

Se você tem duas instâncias independentes do experimento (jogue um dado, registre o número que mostra), estará lidando com duas variáveis ​​aleatórias diferentes .

Então imagine que eu tenho um dado vermelho e um dado azul. Então eu posso dizer "Deixe o resultado no dado vermelho ser e o resultado no dado azul ser X 2 ". Em seguida , podemos seguir o exemplo nessa página vinculada, definindo T como a soma dos números exibidos nesses dois dados, então T = X 1 + X 2 . Se o dado e o processo de laminação são justos, a distribuição de X 1 e X 2 é a mesma, mas X 1 e X 2 - as variáveis ​​aleatórias - são distintas.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Há uma excelente discussão por parte do whuber sobre variáveis ​​aleatórias (e somas delas) aqui , e o conceito de variáveis ​​aleatórias é abordado em um pouco mais detalhadamente (se é que é mais técnico) aqui . Eu recomendo que você leia pelo menos a resposta no primeiro link.]

Esse problema surgiu porque o autor confundiu a variável aleatória com sua distribuição. Você pode ver isso aqui:

Nesse caso, os alunos pensam na variável aleatória X como representando um valor único e desconhecido, da mesma maneira que pensam nas variáveis ​​algébricas. Mas X realmente se refere à distribuição de valores possíveis e probabilidades associadas.

Ele confunde explicitamente a variável aleatória com sua distribuição.

De fato, as variáveis ​​aleatórias são, de várias maneiras, exatamente como outras variáveis ​​algébricas, e podem frequentemente ser manipuladas da mesma maneira. Em particular, uma única variável aleatória univariada não representa duas quantidades distintas (como o resultado de duas rolagens diferentes) ao mesmo tempo. é realmente 2 X .$X+X$$2X$

$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

$X$$X$$one$

$X+X=2X$