Dois quantis de uma distribuição beta determinam seus parâmetros?

Se eu der dois quantis $(q_1,q_2)$ e seus locais correspondentes $(l_1,l_2)$ (cada) no intervalo aberto $(0,1)$ , posso sempre encontrar parâmetros de uma distribuição beta que tenha esses quantis em os locais especificados?

A resposta é sim, desde que os dados atendam aos requisitos óbvios de consistência. O argumento é direto, baseado em uma construção simples, mas requer alguma configuração. Tudo se resume a um fato intuitivamente atraente: aumentar o parâmetro $a$ em uma distribuição Beta $(a,b)$ aumenta o valor de sua densidade (PDF) mais para $x$ maior que $x$ menor ; e aumentar $b$ faz o oposto: quanto menor $x$ , maior o valor do PDF.

Os detalhes a seguir.

Seja o quantil $q_1$ desejado $x_1$ e o quantil $q_2$ desejado seja $x_2$ com $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ e (portanto) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ . Depois,existem$a$ e$b$ exclusivospara os quais adistribuiçãoBeta$(a,b)$ possui esses quantis.

A dificuldade em demonstrar isso é que a distribuição Beta envolve uma constante normalizadora recalcitrante. Lembre-se da definição: para $a\gt 0$ e $b \gt 0$ , o Beta $(a,b)$ distribuição tem uma função de densidade (PDF)

A constante de normalização é a função Beta

Tudo fica confuso se tentarmos diferenciar $f(x;a,b)$ diretamente em relação a$a$ e$b$ , que seria a maneira da força bruta de tentar uma demonstração.

Uma maneira de evitar a necessidade de analisar a função Beta é observar que os quantis são áreas relativas . Isso é,

para $i=1,2$ . Aqui, por exemplo, estão o PDF e a função de distribuição cumulativa (CDF) $F$ de uma distribuição Beta $(1.15, 0.57)$ para a qual $x_1=1/3$ e$q_1=1/6$ .

A função de densidade $x\to f(x;a,b)$ é plotada à esquerda. $q_1$ é a área sob a curva à esquerda de $x_1$ , mostrada em vermelho, relativa à área total sob a curva. $q_2$ é a área à esquerda de $x_2$ , igual à soma das regiões vermelha e azul, novamente em relação à área total . O CDF à direita mostra como$(x_1,q_1)$ e$(x_2,q_2)$ marque dois pontos distintos nele.

Nesta figura, $(x_1,q_1)$ foi fixada em $(1/3,1/6)$ , $a$ foi seleccionado para ser $1.15$ , e, em seguida, um valor de $b$ foi encontrado para que $(x_1,q_1)$ encontra-se em o CDF Beta $(a,b)$ .

Lema : Esse $b$ sempre pode ser encontrado.

Para ser específico, deixe $(x_1, q_1)$ ser corrigido de uma vez por todas. (Eles permanecem os mesmos nas ilustrações a seguir: nos três casos, a área relativa à esquerda de $x_1$ é igual a $q_1$ ) Para qualquer $a\gt 0$ , o Lemma afirma que há um valor único de $b$ , escrito $b(a),$ para o qual $x_1$ é o$q_1$quantil q 1 do Beta$(a,b(a))$ distribuição.

Para ver o porquê, observe primeiro que, quando $b$ aproxima de zero, toda a probabilidade se acumula perto dos valores de $0$ , onde $F(x_1;a,b)$ aproxima de $1$ . À medida que $b$ aproxima do infinito, toda a probabilidade se aproxima dos valores de $1$ , onde $F(x_1;a,b)$ aproxima de $0$ . No meio, a função $b\to F(x_1;a,b)$está aumentando estritamente em $b$ .

Essa afirmação é geometricamente óbvia: equivale a dizer que, se olharmos para a área à esquerda sob a curva $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ relação à área total sob a curva e compará-la com a área relativa sob a curva $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ para b ′ > b , a última área é relativamente maior. A proporção dessas duas funções é ( 1 - x ) b ′ - b . Esta é uma função igual a 1 quando$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$ caindo constantemente para$0$ quando$x=1.$ Portanto, as alturas da função$x\to f(x;a,b^\prime)$ sãorelativamente maioresque as alturas de$x\to f(x;a,b)$ para$x$ à esquerda de$x_1$ do que são para$x$ à direita de$x_1.$ Conseqüentemente, aáreaà esquerda de$x_1$ na primeira deve serrelativamentemaior que a área à direita de$x_1.$ (Isso é fácil de traduzir em um argumento rigoroso usando uma soma de Riemann, por exemplo.)

Vimos que a função $b\to f(x_1;a,b)$ está aumentando estritamente monotonicamente com valores-limite em $0$ e $1$ como $b\to 0$ e $b\to\infty,$ respectivamente. Também é (claramente) contínuo. Conseqüentemente, existe um número $b(a)$ onde $f(x_1;a,b(a))=q_1$ e esse número é único, comprovando o lema.

O mesmo argumento mostra que, à medida que $b$ aumenta, a área à esquerda de $x_2$ aumenta. Consequentemente, os valores de $f(x_2;a, b(a))$ variam ao longo de algum intervalo de números à medida que $a$ progride de quase $0$ a quase $\infty.$ O limite de $f(x_2;a,b(a))$ como $a\to 0$ é $q_1.$

Aqui está um exemplo em que $a$ é próximo de $0$ (é igual a $0.1$ ). Com $x_1=1/3$ e $q_1=1/6$ (como na figura anterior), $b(a) \approx 0.02.$ Quase não há área entre $x_1$ e $x_2:$

O CDF é praticamente plano entre $x_1$ e $x_2,$ onde $q_2$ está praticamente no topo de $q_1.$ No limite de $a\to 0$ ,$q_2 \to q_1.$

No outro extremo, valores suficientemente grandes de $a$ derivação para $F(x_2;a,b(a))$ arbitrariamente próximos de $1.$ Aqui está um exemplo com $(x_1,q_1)$ como antes.

Aqui $a=8$ e $b(a)$ é cerca de $10.$ Agora $F(x_2;a,b(a))$ é essencialmente $1:$ não há quase nenhuma área à direita de$x_2.$

Conseqüentemente, você pode selecionar qualquer $q_2$ entre $q_1$ e $1$ e ajustar $a$ até $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Assim como antes, este$a$ deve ser único,QED.

O Rcódigo de trabalho para encontrar soluções é publicado em Determinando os parâmetros de distribuição beta $\alpha$ e partir de dois pontos arbitrários (quantis)$\beta$ .