# Mostrar que têm distribuição normal de inclinação

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Seja e independentes. Mostre que têm uma distribuição normal de inclinação e encontre os parâmetros dessa distribuição.${Y}_{1}\sim SN\left({\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2},\lambda \right)$$Y_1\sim SN(\mu_1,\sigma_1^2,\lambda)$${Y}_{2}\sim N\left({\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}\right)$$Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$${Y}_{1}+{Y}_{2}$$Y_1+Y_2$

Como as variáveis ​​aleatórias são independentes, tentei usar a convolução. Seja$Z={Y}_{1}+{Y}_{2}$$Z=Y_1+Y_2$

${f}_{Z}\left(z\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2\varphi \left({y}_{1}|{\mu }_{1},{\sigma }_{1}\right)\mathrm{\Phi }\left(\lambda \left(\frac{{y}_{1}-{\mu }_{1}}{{\sigma }_{1}}\right)\right)\varphi \left(z-{y}_{1}|{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}\right)\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{d}{y}_{1}$

Aqui e são os pdf e cdf normais padrão, respectivamente.$\varphi \left(\right)$$\phi()$$\mathrm{\Phi }\left(\right)$$\Phi()$

${f}_{Z}\left(z\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{1}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{2}}}exp\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{1}^{2}}\left({y}_{1}-\mu {\right)}^{2}-\frac{1}{2{\sigma }_{2}^{2}}\left(\left(z-{y}_{1}{\right)}^{2}-\mu {\right)}^{2}\right)\mathrm{\Phi }\left(\lambda \left(\frac{{y}_{1}-{\mu }_{1}}{{\sigma }_{1}}\right)\right)\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{d}{y}_{1}$

Para notações simplificadas, deixe$k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{1}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{2}}}$$k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}$

$\begin{array}{rl}{f}_{Z}\left(z\right)& =k{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{exp}\left(\frac{-1}{2{\sigma }_{1}^{2}{\sigma }_{2}^{2}}\left({\sigma }_{1}^{2}\left({y}_{1}-{\mu }_{1}{\right)}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}\left(\left(z-{y}_{1}\right)-{\mu }_{2}{\right)}^{2}\right)\right)\mathrm{\Phi }\left(\lambda \left(\frac{{y}_{1}-{\mu }_{1}}{{\sigma }_{1}}\right)\right)\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{d}{y}_{1}\\ & =k{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{exp}\left(\frac{-1}{2{\sigma }_{1}^{2}{\sigma }_{2}^{2}}\left({\sigma }_{2}^{2}\left({y}_{1}^{2}-2{y}_{1}{\mu }_{1}+{\mu }_{1}\right)+{\sigma }_{1}^{2}\left(\left(z-{y}_{1}{\right)}^{2}-2\left(z-{y}_{1}\right){\mu }_{2}+{\mu }_{2}^{2}\right)\right)\right)\\ & \phantom{\rule{1em}{0ex}}×\mathrm{\Phi }\left(\lambda \left(\frac{{y}_{1}-{\mu }_{1}}{{\sigma }_{1}}\right)\right)\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{d}{y}_{1}=k{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{exp}\\ & \left(\frac{-1}{2{\sigma }_{1}^{2}{\sigma }_{2}^{2}}\left({\sigma }_{2}^{2}\left({y}_{1}^{2}-2{y}_{1}{\mu }_{1}+{\mu }_{1}\right)+{\sigma }_{1}^{2}\left({z}^{2}-2z{y}_{1}+{y}_{1}^{2}-2z{\mu }_{2}+2{y}_{1}{\mu }_{2}+{\mu }_{2}^{2}\right)\right)\right)\\ & \phantom{\rule{1em}{0ex}}×\mathrm{\Phi }\left(\lambda \left(\frac{{y}_{1}-{\mu }_{1}}{{\sigma }_{1}}\right)\right)\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\text{d}{y}_{1}\end{array}$

Mas estou preso neste momento.

EDIT: seguindo as sugestões nos comentários, usando e${\mu }_{1}={\mu }_{2}=0$$\mu_1=\mu_2=0$${\sigma }_{1}^{2}={\sigma }_{2}^{2}=1$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=1$

$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{2}\left[{y}_{1}^{2}+{z}^{2}-2z{y}_{1}+{y}_{1}^{2}\right]\right)\mathrm{\Phi }\left(\lambda {y}_{1}\right)d{y}_{1}\\ & {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{2}{y}_{1}^{2}\right)\mathrm{\Phi }\left(\lambda {y}_{1}\right)\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{2}\left(z-{y}_{1}{\right)}^{2}\right)d{y}_{1}\end{array}$

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Tentar um caso mais simples de , reduzirá bastante a desordem e fará você ver a floresta em vez das árvores? ${\mu }_{1}={\mu }_{2}=0$$\mu_1 = \mu_2 = 0$${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=1$$\sigma_1 = \sigma_2 = 1$
Dilip Sarwate

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Acho que a sugestão de Dilip é boa, mas você pode verificar cuidadosamente sua expansão do primeiro termo quadrático. (Não vai resolver o seu problema imediato, mas será importante)
Glen_b -Reinstate Monica 19/09/16

Respostas:

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Reparameterizando a inclinação em termos de e usando o mgf da inclinação normal (veja abaixo), já que e são independentes, tem mgf que é , o mgf de uma inclinação normal com os parâmetros , e que$\delta =\lambda /\sqrt{1+{\lambda }^{2}}$$\delta=\lambda/\sqrt{1+\lambda^2}$${Y}_{1}$$Y_1$${Y}_{2}$$Y_2$$Z={Y}_{1}+{Y}_{2}$$Z=Y_1 + Y_2$

$\begin{array}{rl}{M}_{Z}\left(t\right)& ={M}_{{Y}_{1}}\left(t\right){M}_{{Y}_{2}}\left(t\right)\\ & =2{e}^{{\mu }_{1}t+{\sigma }_{1}^{2}{t}^{2}/2}\mathrm{\Phi }\left({\sigma }_{1}\delta t\right){e}^{{\mu }_{2}t+{\sigma }_{2}^{2}{t}^{2}/2}\\ & =2{e}^{\left({\mu }_{1}+{\mu }_{2}\right)t+\left({\sigma }_{1}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}\right){t}^{2}/2}\mathrm{\Phi }\left({\sigma }_{1}\delta t\right)\\ & =2{e}^{\mu t+{\sigma }^{2}{t}^{2}/2}\mathrm{\Phi }\left(\sigma {\delta }^{\prime }t\right),\end{array}$
$\mu ={\mu }_{1}+{\mu }_{2}$$\mu=\mu_1+\mu_2$${\sigma }^{2}={\sigma }_{1}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}$$\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$$\sigma {\delta }^{\prime }={\sigma }_{1}\delta$$\sigma\delta'=\sigma_1\delta$${\delta }^{\prime }$$\delta'$é o novo parâmetro de inclinação. Portanto, Na outra parametrização, o novo parâmetro de inclinação pode ser escrito, após alguma álgebra, por exemplo, como
${\delta }^{\prime }=\delta \frac{{\sigma }_{1}}{\sigma }=\delta \frac{{\sigma }_{1}}{\sqrt{{\sigma }_{1}^{2}+{\sigma }_{2}^{2}}}.$
${\lambda }^{\prime }$$\lambda'$
${\lambda }^{\prime }=\frac{{\delta }^{\prime }}{\sqrt{1-{\delta }^{\prime 2}}}=\frac{\lambda }{\sqrt{1+\frac{{\sigma }_{2}^{2}}{{\sigma }_{1}^{2}}\left(1+{\lambda }^{2}\right)}}.$

O mgf de uma inclinação normal normal pode ser derivado da seguinte maneira: \ end {align} O mgf de uma inclinação normal com parâmetros de localização e escala

$\mu$$\mu$ e é então $\sigma$$\sigma$
${M}_{\mu +\sigma X}\left(t\right)=E{e}^{\left(\mu +\sigma X\right)t}={e}^{\mu t}{M}_{X}\left(\sigma t\right)=2{e}^{\mu t+{\sigma }^{2}{t}^{2}/2}\mathrm{\Phi }\left(\frac{\lambda }{\sqrt{1+{\lambda }^{2}}}\sigma t\right).$

Não entendi como você obtém esse pode me dar mais detalhes? ${\delta }^{\prime }=\delta \frac{{\sigma }_{1}}{\sigma }$$\delta'=\delta\frac{\sigma_1}\sigma$

Você acabou de igualar as quantidades que aparecem antes de e na exponencial e no argumento do -função para encontrar os novos parâmetros. $t$$t$${t}^{2}$$t^2$$\mathrm{\Phi }$$\Phi$
Jarle Tufto 24/09
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