você pode me mostrar explicitamente a primeira iteração da pontuação de newton-raphson e fisher?

Estou tentando entender a diferença entre a Newton-Raphsontécnica e a Fisher scoringtécnica calculando a primeira iteração para cada método de uma Bernoulliamostra. (Eu sei que, neste caso, posso calcular explicitamente e imediatamente $\pi_{mle}$ mas quero fazê-lo iterativamente apenas para entender e ver como cada método converge).

Suponha que eu desenhe uma moeda $n=10$ vezes, o parâmetro real $\pi_t=0.3$ é desconhecido para mim e eu tenho 4 cabeças, então $\bar{X}=0.4$ .

A função de pontuação é:

$$u(\pi) = \frac{n\bar{X}}{\pi} - \frac{n(1-\bar{X})}{1-\pi}$$

A informação pescada observada é:

$$J(\pi) = -\frac{n\bar{X}}{\pi^2} - \frac{n(1-\bar{X})}{(1-\pi)^2}$$

e a informação esperada dos pescadores é:

$$I(\pi) = \frac{n\pi_t}{\pi^2} + \frac{n(1-\pi_t)}{(1-\pi)^2}$$

E observe que podemos simplificar as informações esperadas dos pescadores apenas quando as avaliamos em $\pi = \pi_t$ , mas não sabemos onde é ...

Agora, suponha que meu palpite inicial seja $\pi_0 = 0.6$

Será que Newton-Raphsonsimplesmente ir como este:

$$\pi_1 = \pi_0 - u(\pi_0)/J(\pi_0)$$

?

E como Fisher-scoringvai?

$$\pi_1 = \pi_0 + u(\pi_0)/I(\pi_0)$$

Note que ele contém que não sabemos! e nem podemos substituir π t por π m l e, como também não sabemos - é exatamente isso que estamos procurando ...$\pi_t$$\pi_t$$\pi_{mle}$

Você pode ajudar a me mostrar da maneira mais concreta possível esses dois métodos? Obrigado!

Para Newton-Raphson , sim, temos

$$\pi_1 = \pi_0 - u(\pi_0)/J(\pi_0).$$

$\pi$$I(\pi)$$I(\pi)=-E(J(\pi))=E[u(\pi)u^{'}(\pi)]$

$$\hat I(\pi_0) = \sum_i^n u_i(\pi_0)u_i^{'}(\pi_0),$$ $u_i(\pi)= \frac{x_i}{\pi} - \frac{1-x_i}{1-\pi}$$x_i$ $$\pi_1 = \pi_0 + u(\pi_0)/\hat I(\pi_0).$$ $n$

I revisto I_hat(pi)em @ de ihadanny Pythoncódigo. Agora, a pontuação de Newton-Raphson e Fisher fornece resultados idênticos.

import random
import numpy as np 

pi_t = random.random()
n = 1000
draws = [1 if x < pi_t else 0 for x in np.random.rand(n)]
x_bar = np.mean(draws)

def u(pi):
    return n*x_bar/pi - n*(1-x_bar)/(1-pi)
def J(pi):
    return -n*x_bar/pi**2 - n*(1-x_bar)/((1-pi)**2)
def I_hat(pi):
    x = 0
    for i in range(0, n): 
        x = x + (draws[i]/pi - (1-draws[i])/(1-pi))**2
    return x
def Newton(pi):
    return pi - u(pi)/J(pi)
def Fisher(pi):
    return pi + u(pi)/I_hat(pi)

def dance(method_name, method):
    print("starting iterations for: " + method_name)
    pi, prev_pi, i = 0.5, None, 0
    while i == 0 or (abs(pi-pi_t) > 0.001 and abs(pi-prev_pi) > 0.001 and i < 10):
        prev_pi, pi = pi, method(pi)
        i += 1
        print(method_name, i, "delta: ", abs(pi-pi_t))

dance("Newton", Newton)
dance("Fisher", Fisher)

Log Message
starting iterations for: Newton
Newton 1 delta:  0.00899203081545
Newton 2 delta:  0.00899203081545
starting iterations for: Fisher
Fisher 1 delta:  0.00899203081545
Fisher 2 delta:  0.00899203081545

Atualizar

$$\hat I(\pi)=\sum_i^n \left(\frac{x_i}{\pi} - \frac{1-x_i}{1-\pi}\right)^2= \frac{\sum_i^n x_i}{\pi^2} + \frac{(n-\sum_i^n x_i)}{(1-\pi)^2} = -J(\pi),$$