Como o valor esperado se relaciona com média, mediana etc. em uma distribuição não normal?

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Como o valor esperado de uma variável aleatória contínua se relaciona com sua média aritmética, mediana etc. em uma distribuição não normal (por exemplo, inclinação normal)? Estou interessado em quaisquer distribuições comuns / interessantes (por exemplo, log-normal, distribuições bi / multimodais simples, qualquer outra coisa estranha e maravilhosa).

Estou procurando principalmente respostas qualitativas, mas quaisquer respostas quantitativas ou formuladas também são bem-vindas. Eu particularmente gostaria de ver quaisquer representações visuais que tornem isso mais claro.

mean expected-value median

— naught101
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Você pode ser um pouco mais claro? A média aritmética e a mediana são funções que aplicamos aos dados, não nada intrínseco a distribuições específicas ... por exemplo, os dados não precisam ser normais para que você possa calcular a média da amostra.

— guest

Ok, então a questão deveria ser tecnicamente "como o valor esperado se relaciona com a média, mediana etc. dos dados extraídos aleatoriamente de uma distribuição de probabilidade específica?" Estou procurando por entendimentos simples e intuitivos, semelhantes à maneira como você pode dizer intuitivamente que, quando uma distribuição é mais distorcida, a mediana e a média ficam mais afastadas, e a mediana pode fornecer uma melhor indicação de onde estão os dados.

— naught101

Heh. Obrigado Marco. Eu tenho claramente lido coisas erradas. Pode muito bem escrever que, como resposta, eu escolhi a melhor resposta.

— precisa saber é o seguinte

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(parcialmente convertido do meu comentário agora excluído acima)

O valor esperado e a média aritmética são exatamente a mesma coisa. A mediana está relacionada à média de uma maneira não trivial, mas você pode dizer algumas coisas sobre a relação delas:

quando uma distribuição é simétrica, a média e a mediana são as mesmas
quando uma distribuição é distorcida negativamente, a mediana geralmente é maior que a média
quando uma distribuição é inclinada positivamente, a mediana geralmente é menor que a média

— Macro
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Interessante. Que exemplos existem do comportamento incomum de uma distribuição inclinada negativamente em que a média é maior que a mediana?

— precisa saber é o seguinte

@ naught101: este é um erro de digitação? Uma distribuição inclinada negativamente é aquela em que os resultados da esquerda do centro ocorrem com mais frequência do que os resultados da direita do centro e, portanto, a "cauda" dos resultados de baixa frequência sai para a direita. Em tal situação, a corcunda à esquerda sempre puxa a média (aritmética) para a esquerda do centro, enquanto a cauda à direita mantém a mediana maior que a média.

— Assad Ebrahim

@AssadEbrahim: Não, foi uma referência ao comentário de Macro "a mediana geralmente é maior que a média" - eu estava pedindo exemplos de contrariedade.

— naught101

@ naught101: Os contra-exemplos no caso de uma distribuição unimodal são sua próxima linha: quando a corcunda está à direita, a cauda à esquerda puxa a mediana abaixo da média. Quanto maior a cauda, maior a diferença entre mediana e média.

— Assad Ebrahim 24/10

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Quais são as circunstâncias práticas em que alguém usaria uma mediana acima de uma média ou vice-versa? Por exemplo, na análise de sobrevivência em que a vida útil segue uma distribuição exponencial, devo usar a mediana (para que metade das coisas dure mais, a metade dure menos) ou a média (a vida "esperada") se eu tiver que prever a vida / morte como um binário resultado?

— drevicko

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$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$
$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$
$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$

Não é difícil ver que o produto da média harmônica e aritmética produz o quadrado da média geométrica, ou seja,

$H M (X) \cdot A M (X) = {G M}^{2} (X) .$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$

$X$ $X$ $X$

$G M (X) = \sqrt{H M (X) \cdot A M (X)} .$ $\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$

Além disso, a bem conhecida desigualdade HM-GM-AM

$H M (X) \leq G M (X) \leq A M (X)$ $\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$

pode ser expresso como

$H M (X) \cdot \sqrt{G V a r (X)} = G M (X) = \frac{A M (X)}{\sqrt{G V a r (X)}},$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$

$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

— Björn Friedrich
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Para completar, também existem distribuições para as quais a média não está bem definida. Um exemplo clássico é a distribuição de Cauchy ( esta resposta tem uma boa explicação do porquê). Outro exemplo importante é a distribuição de Pareto com expoente menor que 2.

— drevicko
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x = 0

$x=0$

@ Carl bons pontos - eu editei a resposta em conformidade. Muitos thx (:

— drevicko

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Embora seja correto que matematicamente a média e o valor esperado sejam definidos de forma idêntica, para uma distribuição distorcida, essa convenção de nomenclatura se torna enganosa.

Imagine que você está perguntando a um amigo sobre os preços das moradias na cidade dela, porque você realmente gosta lá e pensa em mudar para essa cidade.

Se a distribuição de prêmios de habitação foram unimodal e simétrica, em seguida, seu amigo pode dizer o preço médio de casas e na verdade você pode esperar para encontrar a maioria das casas no mercado em torno dessa média valor.

No entanto, se a distribuição dos preços da habitação for unimodal e inclinada, por exemplo, inclinada para a direita com a maioria das casas na faixa de preço mais baixa para a esquerda e apenas algumas casas exorbitantes à direita, a média será "inclinada" para os preços altos em o certo.

Para esta distribuição unimodal e distorcida dos preços das casas, você pode esperar encontrar a maioria das casas no mercado em torno da mediana .

— Sol Hator
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Não está claro o que você quer dizer quando diz para distribuições unodais distorcidas que a distribuição de preços da habitação tem preços em torno da mediana. O que se pode dizer é que metade dos valores será igual ou inferior à mediana e metade será igual ou superior à mediana. Não indica o quão perto esses valores estão da média.

— Michael R. Chernick

Suponho que sua última frase deve terminar com "mediana"? Nesse caso, acho óbvio que a mediana deve ser o valor (atingível) mais próximo da média (que pode não ser atingível, por exemplo, não o preço da moradia) de uma amostra aleatória da população descrita acima. Essa é a mediana mais próxima da amostra média, em média. Caso contrário, não afirmei quão próximos esses valores estão da média. Fiz uma reclamação sobre a distância deles à mediana.

— Sol Hator