O que é uma amostra de uma variável aleatória?


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Variável aleatória é definida como uma função mensurável de um -álgebra com a medida subjacente para outro -álgebra .Xσ(Ω1,F1)Pσ(Ω2,F2)

Como falamos sobre uma amostra dessa variável aleatória? Nós o tratamos como um elemento de ? Ou como a mesma função mensurável que ?XnΩ2X

Onde posso ler mais sobre isso?

Exemplo:

Na estimativa de Monte Carlo, provamos a imparcialidade do estimador considerando as amostras como as funções. Se uma expectativa de uma variável aleatória for definida como(Xn)n=1NX

E[X]=Ω1X(ω1)dP(ω1)

e assumindo que são funções e , podemos proceder da seguinte maneira:XnXn=X

E[1Nn=1Nf(Xn)]=1Nn=1NE[f(Xn)]=1Nn=1NE[f(X)]=E[f(X)].

Se fosse apenas um elemento de , não poderíamos ter escrito o último conjunto de equações.XnΩ2


no seu exemplo, que todos têm a mesma distribuição como o que você descreveu, daí a sua expecation é mesma que a de . XnXX
bdeonovic 8/10/16

Respostas:


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Uma amostra é uma função mensurável a partir de a . Uma realização dessa amostra é o valor obtido pela função , .(X1,,XN)Ω1Ω2NωΩ1(x1,,xN)=(X1(ω),,XN(ω))

Ao declarar

assumindo que são funções eXnXn=X

As funções são todas funções diferentes, o que significa que as imagens podem ser diferentes para um determinado . Quando a amostra é iid (independente e identicamente distribuída), as funções são diferentes, com duas propriedades adicionaisXnX1(ω),,XN(ω)ωXn

  1. distribuição idêntica, significando que para todos os conjuntos mensuráveis em ;P(X1A)==P(XNA)AF2
  2. independência, o que significa que para todos os conjuntos mensuráveis emP(X1A1,,XNAN)=P(X1A1)P(XNAN)A1,,ANF2

Sua definição

E[X]=Ω1X(ω1)dω1

está incorreto: deve ser

E[X]=Ω1X(ω1)dP(ω1)

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A amostra pode ser retirada da população , não da variável aleatória. "Amostra de variáveis ​​aleatórias" é uma maneira simplificada de dizer que temos uma amostra retirada da população, que assumimos ser variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica. Portanto, essa amostra se comporta como variáveis ​​aleatórias. É ambíguo porque combina terminologia usada em probabilidade e estatística. O mesmo ocorre com a simulação, onde as amostras são retiradas da distribuição comum . Nos dois casos, a amostra são os dadosnnnVocê tem. As amostras são consideradas como variáveis ​​aleatórias porque processos aleatórios levam a desenhá-las. Eles são distribuídos de forma idêntica, pois são provenientes de distribuição comum. Para lidar com amostras, temos estatísticas, enquanto as estatísticas usam uma descrição abstrata e matemática dos seus problemas em termos da teoria das probabilidades, portanto a terminologia é mista. Variáveis ​​aleatórias são funções que atribuem probabilidades a eventos que podem ser encontrados em suas amostras.


E no contexto da simulação de Monte Carlo. Lá, as amostras não são de uma população. Eles são de geradores de números aleatórios.
sk1ll3r

@ sk1ll3r ainda é uma amostra, extraída de uma distribuição comum.
Tim

Então, eu o trataria como um elemento de ou uma função de para ? Ω 1 Ω 2Ω2Ω1Ω2
sk1ll3r

@ sk1ll3r como disse bdeonovic, é apenas uma variável aleatória comum, nada mais que isso.
Tim
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