O que é uma amostra de uma variável aleatória?

Variável aleatória é definida como uma função mensurável de um -álgebra com a medida subjacente para outro -álgebra . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Como falamos sobre uma amostra dessa variável aleatória? Nós o tratamos como um elemento de ? Ou como a mesma função mensurável que ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

Onde posso ler mais sobre isso?

Exemplo:

Na estimativa de Monte Carlo, provamos a imparcialidade do estimador considerando as amostras como as funções. Se uma expectativa de uma variável aleatória for definida como $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

e assumindo que são funções e , podemos proceder da seguinte maneira: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

Se fosse apenas um elemento de , não poderíamos ter escrito o último conjunto de equações. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
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no seu exemplo, que todos têm a mesma distribuição como o que você descreveu, daí a sua expecation é mesma que a de .

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic 8/10/16

Respostas:

Uma amostra é uma função mensurável a partir de a . Uma realização dessa amostra é o valor obtido pela função , . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Ao declarar

assumindo que são funções e $X^n$ $X^n=X$

As funções são todas funções diferentes, o que significa que as imagens podem ser diferentes para um determinado . Quando a amostra é iid (independente e identicamente distribuída), as funções são diferentes, com duas propriedades adicionais $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

distribuição idêntica, significando que para todos os conjuntos mensuráveis em ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
independência, o que significa que para todos os conjuntos mensuráveis em $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Sua definição

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

está incorreto: deve ser

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— Xi'an
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A amostra pode ser retirada da população , não da variável aleatória. "Amostra de variáveis aleatórias" é uma maneira simplificada de dizer que temos uma amostra retirada da população, que assumimos ser variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica. Portanto, essa amostra se comporta como variáveis aleatórias. É ambíguo porque combina terminologia usada em probabilidade e estatística. O mesmo ocorre com a simulação, onde as amostras são retiradas da distribuição comum . Nos dois casos, a amostra são os dados $n$ $n$ $n$ Você tem. As amostras são consideradas como variáveis aleatórias porque processos aleatórios levam a desenhá-las. Eles são distribuídos de forma idêntica, pois são provenientes de distribuição comum. Para lidar com amostras, temos estatísticas, enquanto as estatísticas usam uma descrição abstrata e matemática dos seus problemas em termos da teoria das probabilidades, portanto a terminologia é mista. Variáveis aleatórias são funções que atribuem probabilidades a eventos que podem ser encontrados em suas amostras.

— Tim
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E no contexto da simulação de Monte Carlo. Lá, as amostras não são de uma população. Eles são de geradores de números aleatórios.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r ainda é uma amostra, extraída de uma distribuição comum.

— Tim

Então, eu o trataria como um elemento de ou uma função de para ?

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

— sk1ll3r

@ sk1ll3r como disse bdeonovic, é apenas uma variável aleatória comum, nada mais que isso.

— Tim