Qual é a intuição por trás de uma função de indicador?

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O que é uma função de indicador?
Qual é a intuição por trás de uma função Indicator?
Por que a função indicadora necessária no exemplo a seguir? $I_A$
O exemplo a seguir pode ser reescrito sem usar a função de indicador?

Seja qualquer evento. Podemos escrever como uma expectativa, da seguinte maneira: $A$ $\Bbb P(A)$

Defina a função do indicador:

$I_{A} = {\begin{cases} 1, & if event A occurs \\ 0, & otherwise \end{cases}$ $I_A = \begin{cases} 1, & \text{if event $A$ occurs} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
Então é uma variável aleatória e $I_A$

$E (I_{A}) = \sum_{r = 0}^{1} r \cdot P (I_{A} = r) = P (A) .$ $\Bbb E(I_A) = \sum_{r=0}^1 r \cdot \Bbb P(I_A = r) \\ = \Bbb P(A).$
portanto

$P (A) = E (I_{A}) .$ $\Bbb P(A) = \Bbb E(I_A).$

probability random-variable indicator-function

— user366312
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Aqui está um artigo de Knuth sobre o conceito relacionado de um suporte de Iverson. Simplificando: as funções do indicador são "interruptores" úteis, semelhantes a como uma if()declaração é útil na programação.

— JM não é um estatístico

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Eu não acho que você possa ser mais intuitivo sobre isso, dizendo mais uma vez o que faz: retorna para algo que lhe interessa e para todos os outros casos. $1$ $0$

Portanto, se você deseja contar pessoas de olhos azuis, pode usar a função indicadora que retorna uma para cada pessoa de olhos azuis e zero caso contrário, e soma os resultados da função.

Quanto à probabilidade definida em termos de expectativa e função do indicador: se você dividir a contagem (ou soma de uma) pelo número total de casos, obtém a probabilidade. Peter Whittle, em seus livros Probabilidade e Probabilidade via Expectativa, escreve muito sobre definir probabilidade como essa e até considera esse uso do valor esperado e da função indicador como um dos aspectos mais básicos da teoria da probabilidade.

Quanto à sua pergunta no comentário

a variável aleatória não existe para servir ao mesmo propósito? Como e ? $H=1$ $T=0$

Bem, sim é! De fato, nas estatísticas, usamos a função indicadora para criar novas variáveis aleatórias, por exemplo, imagine que você normalmente distribui a variável aleatória , então você pode criar uma nova variável aleatória usando a função indicadora, digamos $X$

I_{2 < X < 3} = {\begin{cases} 1 & if 2 < X < 3 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

ou você pode criar uma nova variável aleatória usando duas variáveis aleatórias distribuídas Bernoulli : $A,B$

I_{A \neq B} = {\begin{cases} 0 & if & A = B, \\ 1 & if & A \neq B \end{cases}

$I_{A\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{cases}$

... é claro, você também pode usar qualquer outra função para criar uma nova variável aleatória. A função indicadora é útil se você deseja se concentrar em algum evento específico e sinalizar quando isso acontece.

Para uma função de indicador físico, imagine que você marcou uma das paredes dos dados de seis lados usando tinta vermelha, para que agora você possa contar resultados vermelhos e não vermelhos. Não é menos aleatório o dado em si, enquanto é uma nova variável aleatória que define os resultados de maneira diferente.

Você também pode estar interessado em ler sobre o delta do Dirac, usado em probabilidade e estatística como uma contraparte contínua da função do indicador.

Veja também: Por que 0 para falha e 1 para sucesso em uma distribuição de Bernoulli?

— Tim
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Penso que uma observação importante é que (azul + azul + não-azul) / 3 é totalmente sem sentido, mas (1 + 1 + 0) / 3 = 2/3.

— Cliff AB

@CliffAB, a variável aleatória não está lá para servir ao mesmo propósito? Como e ?

H = 1

$H=1$

T = 0

$T=0$

— user366312

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@ anonymous: não há nada que diga que uma variável aleatória precise assumir um valor numérico, ou que "sucesso" seja igual a 1. O ponto principal da função do indicador é formalizar isso. E imagine se você quiser saber a probabilidade de que a variável aleatória X = 2. Usando a notação sugerida, teríamos que dizer 2 = 1, o que não é uma boa notação.

— Cliff AB

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As variáveis aleatórias do indicador são úteis, pois fornecem uma conexão perfeita entre probabilidade e expectativa. Considere como é fácil provar a desigualdade de Markov com a ajuda de variáveis aleatórias indicadoras: seja uma variável aleatória não negativa, e observe a desigualdade trivial . Podemos então apenas ter uma expectativa de ambos os lados e fazer uma álgebra para obter . Outras provas, como a da fórmula de inclusão-exclusão, também fazem uso dessa conexão. De fato, toda a teoria da probabilidade condicional pode ser desenvolvida a partir da teoria da expectativa condicional por causa disso. $X$ $\alpha > 0$ $\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$ $P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$

Eles também são bons, pois são idempotentes, significando , e isso facilita o cálculo de variações. Além disso, os produtos das variáveis aleatórias indicadoras são elas próprias variáveis aleatórias indicadoras cuja expectativa é a probabilidade da interseção. $I_A^2 = I_A$

Finalmente, embora não seja realmente uma coisa probabilística, as funções de indicador são uma boa maneira de converter operações booleanas em aritméticas, o que é útil para fins gerais de programação. Por exemplo, e . $I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$ $I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$

— dsaxton
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Para programação (ou descrição de algoritmos, pelo menos), também existe a notação de colchetes Iverson , que pode ser mais flexível. (Acho que foi promovido por Knuth, e variantes parecem estar em muitas linguagens de programação modernas, embora eu não estou certo de quão disseminado é como uma notação "matemática".)

— GeoMatt22