Qual é a probabilidade de se comprar um quatro do tipo quando 20 cartas são sorteadas de um baralho de 52?

Ontem, meus colegas de casa e eu estávamos jogando cartas e alguém fez essa pergunta. Tentamos resolver o problema, mas não conseguimos descobrir. Hoje de manhã acordei e ainda estou pensando em como resolvê-lo. Você poderia me ajudar?

Existem 13 tipos, para que possamos resolver o problema de um único tipo e depois avançar a partir daí.

A questão então é: qual é a probabilidade de obter 4 sucessos (como reis) em 20 amostras da mesma distribuição de 4 sucessos (reis) e 48 falhas sem substituição?

A distribuição hipergeométrica (wikipedia) nos dá a resposta para essa pergunta, e é de 1,8%.

Se um amigo aposta em conseguir 4 reis e outro em conseguir quatro rainhas, ambos têm 1,8% de chance de ganhar. Precisamos saber o quanto as duas apostas se sobrepõem para dizer qual é a probabilidade de pelo menos uma delas vencer.

A sobreposição de ambas as vitórias é semelhante à primeira pergunta, a saber: qual é a probabilidade de obter 8 sucessos (reis e rainhas) em 20 amostras de uma distribuição de 8 sucessos (reis e rainhas) e 44 falhas, sem substituição?

A resposta é novamente hipegeométrica e, pelo meu cálculo, é de 0,017%.

Portanto, a probabilidade de pelo menos um dos dois amigos ganhar é de 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Ao continuar essa linha de raciocínio, a parte mais fácil é somar as probabilidades para tipos individuais (13 * 1,8% = 23,4%), e a parte difícil é descobrir o quanto esses 13 cenários se sobrepõem.

A probabilidade de obter 4 reis, 4 rainhas ou 4 ases é a soma de obter cada um dos quatro menos a sobreposição deles. A sobreposição consiste em obter 4 reis e 4 rainhas (mas não 4 ases), obter 4 reis e 4 ases (mas não 4 rainhas), obter 4 rainhas e 4 ases (mas não 4 reis) e obter 4 reis e 4 rainhas e 4 ases.

É aqui que fica muito cabeludo para eu continuar, mas procedendo dessa maneira com a fórmula hipergeométrica da wikipedia, você pode ir em frente e escrever tudo.

Talvez alguém possa nos ajudar a reduzir o problema?

Para comprar pelo menos quatro especificadas, precisamos todas as cartas necessárias. Esta é uma distribuição hipergeométrica, na qual devemos obter todos os sucessos em da população de tamanho Existem conjuntos de quatro tipos. Portanto, a chance de obter pelo menos quatro-de-um-tipo é$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ para$0\leq k\leq5.$

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a probabilidade de desenhar pelo menos um quatro é igual a

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Isso pode ser calculado numericamente para cerca de$0.2197706.$

A soma acima tem a forma se subtrairmos o termo posteriormente , uma vez que os termos para são iguais a zero. Gostaria de saber se existe uma maneira de simplificar esse tipo de soma.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$