Se , por que ?

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Vi o seguinte em um livro didático e tenho dificuldades para entender o conceito. Eu entendo que é normalmente distribuído com E ( ) = 0 e Var ( ) = . $X_n$ $X_n$ $X_n$ $\frac{1}{n}$

No entanto, não entendo por que multiplicar por tornaria o padrão normal. $X_n$ $\sqrt n$

— Luke Hsu
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Veja en.wikipedia.org/wiki/Variance#Basic_properties (em particular onde se diz )

Var (a X) = a^{2} V a r (X)

$\text{Var}(aX) = a^2{Var}(X)$

— Glen_b -Reinstate Monica 15/16

Não hesite para validar sua resposta preferida

— Laurent Duval

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Como a variação é um momento de segunda ordem , relacionado ao quadrado, então um fator é elevado ao quadrado.

Mais precisamente, já que a expectativa é uma operação linear, em geral, se você tiver um momento central de ordem (o seu é um momento de ordens): $d$ $2$

μ_{d} (X) = E [X^{d}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{d} d F (x)

$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$ multiplicar por uma constante resulta em obter essa constante fora da integral, afetada pela potência (desde que a integral esteja definida corretamente):

X

$X$

d

$d$

μ_{d} (a X) = a^{d} μ_{d} (X) .

$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$

Portanto, se você multiplicar por , a variação (potência de dois momentos) de será multiplicada por . $X$ $\sqrt{n}$ $X$ $(\sqrt{n})^2$

A média é um momento de primeira ordem, portanto você a multiplicaria por e, como é para , a variável resultante ainda terá média zero. $\sqrt{n}$ $0$ $X$

— Laurent Duval
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Obrigado por isso! No entanto, em outros casos, a multiplicação de \ sqrt {n} afetará a média?

— Luke Hsu

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não, porque a média era 0 no início (portanto, 0 vezes o sqrt (n) ainda é zero) #

— 911 Ben Bolker

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Suponha . Em seguida, Da mesma forma, se é uma amostra aleatória de , a média da amostra é $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$

\begin{array}{rcl} X - μ & \sim & N (0, σ^{2}) \\ \frac{X - μ}{σ} & \sim & N (0, 1) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^{2})$

\begin{array}{rcl} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} & \sim & N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \bar{X} - μ & \sim & N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \frac{\sqrt{n} (\bar{X} - μ)}{σ} & \sim & N (0, 1) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$

— LVRao
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