Distribuição amostral da média de um Beta

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Digamos que temos . Qual é a distribuição amostral de sua amostra? $X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$

Em outras palavras, que distribuição a amostra significa $\bar{X}$ de uma versão beta segue?

distributions beta-distribution mean

— Josh
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Uau - pergunta difícil. Pode ser difícil caracterizar todos os valores de alfa e beta, dadas as formas estranhas que ocorrem para algumas opções de parâmetro, mas quando ambos são maiores que 1, parece que tenderá assintoticamente a gaussiano por CLT, mas não posso diga com certeza.

— T3am5hark

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A distribuição assintótica de uma média amostral de uma amostra aleatória será governada pelo CLT sempre que existir uma variação, o que não exige que

α, β > 1

$\alpha,\beta>1$ .

— Christoph Hanck 25/10

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Nota: consulte também para a mesma pergunta /math/85535/sum-of-niid-beta-distributed-variables

Para o caso de uma distribuição uniforme, , a distribuição da soma de um número de variáveis independentes (e a média está relacionada) foi descrita como a distribuição de Irwin-Hall . $\text{Beta}(1,1)$

Se

X_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} with U_{i} \sim Beta (1, 1)

$X_n = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(1,1)$

então você tem uma spline de grau $n-1$

f_{X} (x; n) = \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} (k, n) x^{j} for k \leq x \leq k + 1

$f_X(x;n) = \frac{1}{(n-1)!} \sum_{j=0}^{n-1} a_j(k,n)x^j \quad \text{ for } \quad k \leq x \leq k+1$

onde o pode ser descrito por uma relação de recorrência: $a_j(k,n)$

a_{j} (k, n) = {\begin{cases} 1 & k = 0, j = n - 1 \\ 0 & k = 0, j < n - 1 \\ a_{j} (k - 1, n) + (- 1)^{n + k - j - 1} (\binom{n}{k}) (\binom{n - 1}{j}) k^{n - j - 1} & k > 1 \end{cases}

$a_j(k,n) = \begin{cases} 1 & \quad k=0,j=n-1 \\ 0 & \quad k=0,j< n-1 \\ a_j(k-1,n) + (-1)^{n+k-j-1} {{n}\choose{k}} {{n-1}\choose{j}} k^{n-j-1} & \quad k>1 \end{cases}$

Você pode ver a fórmula acima como sendo construída por uma convolução repetida de com onde a integral é resolvida por partes. Podemos generalizar isso para variáveis distribuídas Beta com qualquer e ? $X_{n-1}$ $Y_n$ $\alpha$ $\beta$

Seja

X_{n} (α, β) = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} with U_{i} \sim Beta (α, β)

$X_n(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$

Esperamos que a função seja dividida em partes (embora possivelmente não seja mais um spline). A convolução para calcular a distribuição de será algo como: $f_X(x;n,\alpha,\beta)$ $n$ $X_{n}(\alpha,\beta) = X_{n-1}(\alpha,\beta)+U_n$

f_{X} (x; n, α, β) = \int_{1 - min (1, n - x)}^{min (1, x)} f_{X} (x - y; n - 1, α, β) y^{α - 1} (1 - y)^{β - 1} d y

$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \int^{\text{min}(1,x)}_{1-\text{min}(1,n-x)} f_X(x-y;n-1,\alpha,\beta) y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1} dy$

Para : $n=2$

$f_{X} (x; n, α, β) = {\begin{cases} \int_{0}^{x} ((x - y) y)^{α - 1} ((1 - x + y) (1 - y))^{β - 1} d y & if 0 \leq x \leq 1 \\ \int_{x - 1}^{1} ((x - y) y)^{α - 1} ((1 - x + y) (1 - y))^{β - 1} d y & if 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$
- Para números inteiros e : $\alpha$ $\beta$ os termos como e podem ser expandidos para valores inteiros de e , de modo que a integral seja fácil de resolver. $((x-y)y)^{\alpha-1}$ $((1-x+y)(1-y))^{\beta-1}$ $\alpha$ $\beta$
  
  Por exemplo:
  
  $\begin{matrix} f_{X} (x; 2, 2, 2) & = & {\begin{cases} \frac{1}{30} x^{3} (x^{2} - 5 x + 5) & if x \leq 1 \\ \frac{1}{30} (2 - x)^{3} (x^{2} + x - 1) & if x \geq 1 \end{cases} \\ f_{X} (x; 2, 3, 3) & = & {\begin{cases} \frac{1}{630} x^{5} (x^{4} - 9 x^{3} + 30 x^{2} - 42 x + 21) & if x \leq 1 \\ \frac{1}{630} (2 - x)^{5} (x^{4} + x^{3} - 2 x + 1) & if x \geq 1 \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{array}{} f_X(x;2,2,2) &=& \begin{cases} \frac{1}{30} x^3(x^2-5x+5) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{30}(2-x)^3(x^2+x-1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases}\\ \\ f_X(x;2,3,3) &=& \begin{cases} \frac{1}{630} x^5(x^4-9x^3+30x^2-42x+21) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{630}(2-x)^5(x^4+x^3-2x+1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases} \end{array}$

A solução para valores inteiros de e também será um spline. Possivelmente, isso poderia ser convertido em alguma fórmula agradável (ou provavelmente não tão agradável) para situações mais gerais (não apenas e ou ). Mas, nesse ponto, é preciso tomar algumas xícaras de café, ou melhor, uma infusão, para lidar com essas coisas. $\alpha$ $\beta$ $n=2$ $\alpha=\beta=2$ $\alpha=\beta=3$

— Sextus Empiricus
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Eu pensei que era uma pergunta interessante, então aqui está uma rápida exploração visual. Para , primeiro selecionei 4 distribuições Beta separadas (PDFs mostrados abaixo). $X\sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$

Em seguida, coletei amostras médias, e plotei os histogramas correspondentes, como mostrado abaixo. Os resultados parecem normais e estou inclinado a acreditar na afirmação de @ ChristophHanck de que o Teorema do Limite Central (CLT) está funcionando aqui. $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Código MATLAB

% Parameters
n = 5000;
K = 5000;
% Define Beta distributions
pd1 = makedist('Beta',0.25,0.45);
pd2 = makedist('Beta',0.25,2.5);
pd3 = makedist('Beta',4,0.15);
pd4 = makedist('Beta',3.5,5);
% Collect Sample Means
X1bar = zeros(K,1);
X2bar = zeros(K,1);
X3bar = zeros(K,1);
X4bar = zeros(K,1);
for k = 1:K                           % get K sample means 
    X1bar(k) = mean(random(pd1,n,1)); % take mean of n samples
    X2bar(k) = mean(random(pd2,n,1));
    X3bar(k) = mean(random(pd3,n,1));
    X4bar(k) = mean(random(pd4,n,1));
end
% Plot Beta distribution PDFs
Xsupport = 0:.01:1;

figure, hold on, box on
title('Beta(\alpha_1,\alpha_2) PDFs')
plot(Xsupport,pdf(pd1,Xsupport),'r-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd2,Xsupport),'b-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd3,Xsupport),'k-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd4,Xsupport),'g-','LineWidth',2.2)
legend('(0.25,0.45)','(0.25,2.5)','(4,0.15)','(3.5,5)')

figure
s(1) = subplot(2,2,1), hold on, box on
    histogram(X1bar,'FaceColor','r')
s(2) = subplot(2,2,2), hold on, box on
    histogram(X2bar,'FaceColor','b')
s(3) = subplot(2,2,3), hold on, box on
    histogram(X3bar,'FaceColor','k')
s(4) = subplot(2,2,4), hold on, box on
    histogram(X4bar,'FaceColor','g')
title(s(1),'(0.25,0.45)')
title(s(2),'(0.25,2.5)')
title(s(3),'(4,0.15)')
title(s(4),'(3.5,5)')

Edit: Este post foi uma tentativa rápida de fornecer algo ao OP. Como apontado, sabemos que o Teorema Central do Limite (CLT) implica que esses resultados serão válidos para qualquer distribuição com uma variação finita.

— SecretAgentMan
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Você executou vários exemplos demonstrando o CLT. Como observado nos comentários, não há nada de especial nas distribuições Beta nesses exemplos: você pode começar literalmente com qualquer distribuição de variação finita e obter resultados idênticos.

— whuber

Você está certo. Votei positivamente esse comentário, mas dei uma resposta porque não havia. É claro que o CLT é válido para uma distribuição de variância finita. Eu até mencionei o comentarista na resposta. Devo excluir esta resposta? Ou torná-lo comunitário?

— SecretAgentMan