Como escolher a melhor transformação para obter linearidade?

Eu quero fazer regressão linear múltipla e, em seguida, prever novos valores com pouca extrapolação. Eu tenho minha variável de resposta no intervalo de -2 a +7 e três preditores (os intervalos de +10 a +200). A distribuição é quase normal. Mas a relação entre a resposta e os preditores não é linear, vejo curvas nos gráficos. Por exemplo, assim: http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_9898cf38.jpg

Eu gostaria de aplicar uma transformação para obter linearidade. Tentei transformar a variável de resposta verificando diferentes funções e observando os gráficos resultantes para ver uma relação linear entre a resposta e os preditores. E descobri que existem muitas funções que podem me dar um relacionamento linear visível. Por exemplo, funções

$t_1=\log(y+2.5)$

$t_2=\frac{1}{\log(y+5)}$

$t_3=\frac{1}{y+5}$

$t_4=\frac{1}{(y+10)^3}$

$t_5=\frac{1}{(y+3)^\frac{1}{3}}$ etc. dê os resultados semelhantes: http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_06f13dbf.jpg

Depois de voltar a transformar os valores previstos (para como e assim por diante). As distribuições são mais ou menos semelhantes ao normal. $t=\frac{1}{(y+10)^3}$ $y’=\frac{1}{t^\frac{1}{3}}-10$

Como posso escolher a melhor transformação para meus dados? Existe uma maneira quantitativa (e não muito complicada) de avaliar a linearidade? Para provar que a transformação selecionada é a melhor ou para encontrá-la automaticamente, se possível.

Ou a única maneira é fazer a regressão múltipla não linear?

regression data-transformation

— nadya
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Eu tentei melhorar a formatação de suas fórmulas, mas pode ter introduzido alguns erros - verifique.

— Peter Peter Ellis

Eu não acredito em você. Não é matematicamente possível para a ter simultaneamente um relacionamento linear com uma sexta variável no intervalo . Eu acho que você pode ter cometido um erro ao calcular essas transformações de .

t_{1}

$t_1$

t_{5}

$t_5$

0 \dots 200

$0\ldots 200$

y

$y$

— whuber

@whuber Obrigado pela resposta. Eu fiz as parcelas em R cs9579.userapi.com/u17020874/153949434/z_9fa17c02.jpg cs9579.userapi.com/u17020874/153949434/z_7fa6891c.jpg

— nadya

Você está certo. É impressionante que uma ampla gama de re-expressões de y permaneçam em um relacionamento linear com r. Obrigado por compartilhar isso. Se você plotar os resíduos, você vai achar que olhares sobre o melhor, e, em seguida, não precisa de re-expressão: .

1 / (y + 5)

$1/(y+5)$

r

$r$ plot(lm(1/(y+5)~r))

— whuber

Respostas:

Isso é meio que uma arte, mas há algumas coisas simples e diretas que sempre podemos tentar.

A primeira coisa a fazer é re-expressar a variável dependente ( ) para tornar os resíduos normais. Isso não é realmente aplicável neste exemplo, onde os pontos parecem cair ao longo de uma curva não-linear suave com muito pouca dispersão. Então, prosseguimos para o próximo passo. $y$

O próximo passo é re-expressar a variável independente ( ) para linearizar o relacionamento. Existe uma maneira simples e fácil de fazer isso. Escolha três pontos representativos ao longo da curva, de preferência nas duas extremidades e no meio. A partir da primeira figura, li os pares ordenados = , e . Sem nenhuma informação que não seja sempre positiva, uma boa opção é explorar as transformações de Box-Cox para vários poderes , geralmente escolhidos como múltiplos de ou e normalmente entre $r$ $(r,y)$ $(10,7)$ $(90,0)$ $(180,-2)$ $r$ $r \to (r^p-1)/p$ $p$ $1/2$ $1/3$ $-1$ e . (O valor limite conforme aproxima de é .) Essa transformação criará uma relação linear aproximada, desde que a inclinação entre os dois primeiros pontos seja igual à inclinação entre o segundo par. $1$ $p$ $0$ $\log(r)$

Por exemplo, as inclinações dos dados não transformados são = - e = . São bem diferentes: um é cerca de quatro vezes o outro. Tentar fornece inclinações de , etc., que funcionam para e : agora um deles é apenas o dobro do outro, o que é uma melhoria. Continuando dessa maneira (uma planilha é conveniente), acho que funciona bem: as inclinações agora são e $(0-7)/(90-10)$ $0.088$ $(-2-0)/(180-90)$ $-0.022$ $p=-1/2$ $(0-7)/(\frac{90^{-1/2}-1}{-1/2}-\frac{10^{-1/2}-1}{-1/2})$ $-16.6$ $-32.4$ $p \approx 0$ $-7.3$ $-6.6$ , quase o mesmo valor. Conseqüentemente, você deve tentar um modelo com o formato . Em seguida, repita: ajuste uma linha, examine os resíduos, identifique uma transformação de para torná-los aproximadamente simétricos e itere. $y = \alpha + \beta \log(r)$ $y$

John Tukey fornece detalhes e muitos exemplos em seu livro clássico Exploratory Data Analysis (Addison-Wesley, 1977). Ele fornece procedimentos semelhantes (mas um pouco mais envolvidos) para identificar transformações estabilizadoras de variação de . Um conjunto de dados de amostra que ele fornece como exercício refere-se a dados seculares sobre as pressões de vapor de mercúrio medidas a várias temperaturas. Seguir este procedimento permite redescobrir a relação Clausius-Clapeyron ; os resíduos do ajuste final podem ser interpretados em termos de efeitos da mecânica quântica que ocorrem a distâncias atômicas! $y$

— whuber
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Obrigado pelo conselho da transformação Box-Cox. Faz algum sentido verificar R ao quadrado de lm (1 / (y + 5) ~ r) e lm de outras funções e depois comparar esses R ao quadrado?

— Nadya

Faz sentido quando ré fixo, porque então é um proxy para a variação dos resíduos. Porém, se você está reexpressando (a variável independente), então é inútil ou enganoso: consulte stats.stackexchange.com/questions/13314/… .

R^{2}

$R^2$ r

R^{2}

$R^2$

— whuber

Muito obrigado pela resposta! Eu não estou indo para transformar meus variáveis independentes

— Nadya

@ whuber: Supondo que eu tenha apenas uma única variável , qual é uma boa regra geral para escolher a transformação? Eu tenho o livro da EDA de Tukey, mas acho difícil encontrar o caminho de volta. Muito parece estar focado na reexpressão de papel e caneta. Alguma página / capítulo que você considera muito valiosa?

y

$y$

— Erich Schubert

@Erich Cada parte desse livro é profundamente gratificante: afinal, se você pode fazer algo com lápis e papel, pode programar um computador para fazê-lo :-). Com uma única variável, geralmente é bom transformá-la para simetria (de sua distribuição empírica); Tukey chama isso de "pequeno acordo". Uma maneira simples de identificar essa transformação é descrita na seção 3E, "Olhando rapidamente". Ilustra o que pode ser aprendido de relance em um resumo de N-letra (Tukey sugere um resumo de 7 ou 9 letras). Adquirir essa habilidade é mais valioso do que ter um programa de computador fazendo os cálculos para você.

— whuber

Se a sua variável de resposta (ou melhor, o que se tornará os resíduos da sua variável de resposta) na escala original tem uma distribuição Normal como você implica, transformá-la para criar um relacionamento linear com as outras variáveis significa que ela não é mais Normal e também mudará a relação entre sua variação e valores médios. Portanto, a partir dessa parte da sua descrição, acho melhor você usar a regressão não linear do que transformar a resposta. Caso contrário, após a transformação linear da resposta, você precisará de uma estrutura de erro mais complexa (embora isso possa ser uma questão de julgamento e você precise verificar, usando métodos gráficos).

Como alternativa, investigue a transformação das variáveis explicativas . Além de transformações diretas, você também tem a opção de adicionar em termos quadráticos.

De maneira mais geral, a transformação é mais uma arte do que uma ciência, se não houver uma teoria existente para sugerir o que você deve usar como base da transformação.

— Peter Ellis
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