O que é convergência Epsilon em probabilidade?

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Eu entendo que a fórmula para probabilidade de convergência é e eu posso resolver problemas usando a fórmula. Alguém pode explicá-lo intuitivamente (como eu tenho cinco anos), principalmente no que é ? $P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$ $\epsilon$

probability convergence intuition

— bdempe
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Estudamos na 9ª série na classe Análise no ensino médio. Foi uma das coisas mais difíceis de entender para mim. Eu não acho que você pode explicar isso normal 5 anos

ε

$\varepsilon$

— Aksakal 27/10

Não literalmente a um de cinco seu velho .... Apenas o mais claramente possível

— bdempe

Eu, por exemplo, não entendo isso no contexto de limites. permitiria escolher um por menor que a diferença é menor do que isso convergiria, mas não. Então, alguém, por favor, explique.

P [| X_{n} - X_{\infty} | < ϵ] \to 0

$P[|X_n − X_\infty| < \epsilon ]\to 0$

ϵ

$\epsilon$

P [| X_{n} - X_{\infty} |

$P[|X_n − X_\infty|$

P [| X_{n} - X_{\infty} | > ϵ]

$P[|X_n − X_\infty| > \epsilon ]$

— 31416 Carl

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Como estamos falando de convergência - especificamente, neste caso, convergindo para -, queremos mostrar que fica muito, muito, muito próximo de medida que fica cada vez maior. $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$

Pense em como um número positivo realmente pequeno; digamos que você acha que é bom o suficiente. Então, para mostrar que está realmente, realmente, muito próximo de , queremos mostrar que encaixa para suficientemente grande . ( suficientemente grande significa apenas que existe um tal que para cada , está dentro de mais ou menos de com probabilidade 1.) $\varepsilon$ $\varepsilon = 0.01$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$ $n$ $n$ $n'$ $n > n'$ $X_n$ $0.01$ $X_\infty$

Mas diga que não estou convencido de que converja para porque parece muito grande para mim. Então, em vez disso, vamos . Estou convencido de que converge para (ou que é realmente muito, muito próximo de ) se pudermos mostrar que, para suficientemente grande , cai dentro . $X_n$ $X_\infty$ $\varepsilon=0.01$ $\varepsilon = 0.0001$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$ $X_n$ $(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$

Suponha que você tenha muitos amigos que escolhem para serem cada vez menores. A idéia por trás da convergência é que, para qualquer , não importa quão pequeno seja , mostre que fica dentro de por suficientemente grande demonstra que converge para . $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $X_n$ $X_\infty\pm\varepsilon$ $n$ $X_n$ $X_\infty$

Nos termos mais básicos, é apenas um pequeno número positivo. No que se refere à convergência, você deseja mostrar que, para qualquer (para que todos os seus amigos infinitos com diferentes valores de sejam convencidos), a sequência que converge, em algum momento, fica dentro de mais ou menos do limite para o qual você acredita que a sequência converge. Se você não conseguir mostrar que sua sequência está dentro de do limite para alguns , a sequência não poderá convergir para esse limite. $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$

— Matt Brems
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Você poderia dizer que o menor exigiria um maior para provar que converge?

ϵ

$\epsilon$

n

$n$

— Matt L.

Esse geralmente é o caso, Matt, mas nem sempre é verdade. Como um exemplo trivial, digamos que sua sequência é e você deseja mostrar que isso converge para 2. Não importa quão pequeno seja o seu , será suficiente para provar que converge. No entanto, é importante ressaltar que, para provar que algo converge nesse contexto, você deve ser capaz de mostrar isso para * all * , por menor que seja. Não é suficiente escolher um e dizer que converge. Por exemplo, considere a sequência dada por e deixe .

{2, 2, 2, . . .}

$\{2,2,2,...\}$

ε

$\varepsilon$

n = 1

$n=1$

ε > 0

$\varepsilon>0$

ε

$\varepsilon$

X_{n} = s i n (n)

$X_n=sin(n)$

ε = 10

$\varepsilon = 10$

— Matt Brems

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Sequências de variáveis aleatórias.

Intuição vem de metáforas. A metáfora a seguir, que modela quantidades aleatórias puxando tiras de papel de um contêiner, captura todos os elementos matemáticos essenciais, encobrindo uma condição técnica ("mensurabilidade") necessária para entender situações com incontáveis entradas.

Considere um modelo de tickets-in-a-box de um espaço de amostra : o nome de cada elemento está escrito em um pedaço de papel (um "ticket") colocado na caixa. Elementos com maior probabilidade são nomeados em mais tickets. $\Omega$ $\omega\in\Omega$

Uma variável aleatória é uma maneira consistente de escrever um número em cada ticket. "Consistente" significa que todos os tickets para qualquer específico recebem o mesmo valor de , escritos . $X$ $\omega$ $X$ $X(\omega)$

Uma sequência de variáveis aleatórias portanto, pode ser concebida como uma sequência gravados em cada ticket (novamente de maneira consistente). $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ $X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$

$X_\infty$ é outra variável aleatória, que é mais um número escrito em cada ticket.

Eventos e probabilidade.

Seja qualquer número real. Falaremos mais sobre isso abaixo. $\epsilon$

O evento descreve todos os tickets para os quais os valores e diferem por ou mais. É um subconjunto dos tickets na caixa. Esses tickets formam uma proporção da caixa: essa proporção modela sua probabilidade , . $|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$ $\omega\in\Omega$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$

Limites.

Toda afirmação sobre um limite é uma forma de jogo matemático. Quando escrevemos que alguma sequência tem um limite , o que queremos dizer é que podemos jogar um jogo contra um adversário hipotético (que está fazendo o possível para nos fazer perder) e sempre venceremos . No jogo de limite, seu oponente nomeia um número positivo - geralmente um número minúsculo - que chamaremos de . Você ganha se você pode remover um finito número de elementos de que a seqüência e mostrar que todos os elementos restantes estão dentro de uma distância de . Como em qualquer jogo, você pode calibrar sua resposta ao movimento do seu oponente: os elementos que você remover podem depender de . $L$ $\delta$ $\delta$ $L$ $\delta$

Limites em probabilidade.

Vamos aplicar o jogo de limite à asserção . Como essa afirmação envolve uma quantidade não especificada , seu oponente também pode especificar seu valor. Isso torna o jogo o mais difícil possível para você vencer. $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$ $\epsilon$

Portanto, não importa quais valores de e seu oponente especifique, sua resposta será atravessar algum número finito de variáveis aleatórias nos tickets. Para cada variável aleatória restante , deixe os tickets em que difere de por ou mais sejam os "ruins" para . Você vence o jogo, desde que as proporções de tickets ruins sejam sempre menores que (para todos os restantes). $\epsilon$ $\delta \gt 0$ $X_i$ $X_n$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $n$ $\delta$ $X_n$

Um pouco de reflexão revela a sutileza deste jogo: os tíquetes ruins para não precisam ter nenhuma relação com os tíquetes ruins para $n$ $m$ (onde e designam qualquer uma das variáveis aleatórias restantes que você não riscou). Em outras palavras, em um determinado ticket, os valores podem ser devolvidos por todo o lugar. O limite de probabilidade é uma declaração sobre o que está escrito em todos os tickets na caixa, mas não é uma declaração sobre o que pode ser escrito em qualquer ticket individual. $n$ $m$ $X_n(\omega)$

— whuber
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Eu tenho cinco anos de idade. Eu não tenho ideia do que você está falando. Você me perdeu em "um espaço de amostra Ω". Você teria perdido meus colegas menos precoces na primeira frase. Obrigado por tentar.

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@mickeyf De nada. Prestei atenção ao comentário do OP em stats.stackexchange.com/questions/242793/… .

— whuber

O que é convergência Epsilon em probabilidade?

Sequências de variáveis ​​aleatórias.

Eventos e probabilidade.

Limites.

Limites em probabilidade.

Sequências de variáveis aleatórias.