Qual é a média e a variância da mediana de um conjunto de variáveis ​​aleatórias normais do iid?

Deixei $X_1$, ..., $X_n$ variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica e independente $N(\mu, \sigma^2)$

É fácil mostrar que a média da amostra $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum^n_{i = 0}{X_i}$ é uma variável aleatória com $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$.

No entanto, estou tendo dificuldade em descobrir qual é a distribuição mediana da amostra $median(X)$ é, especialmente em termos de média e variância.

Pergunto porque estou tentando resumir alguns recursos em grupos predefinidos para reduzir o número de testes que tenho que fazer entre duas condições.

Se não houver uma resposta simples para isso, como suspeito, estaria interessado em saber a variação de $median(X)$, especialmente como difere de $\bar{X}$.

A mediana é a estatística de ordem central quando o número de observações é ímpar. E se$n$ é mesmo assim que a mediana é uma estatística de ordem ou a média de estatísticas de 2 ordens (ou outra coisa), dependendo de qual definição de mediana você usa.

Portanto, a distribuição exata da mediana pode ser calculada com base na distribuição das estatísticas da ordem. Para estranho$n$ onde todo o $x$são iid de um pdf $f$ com distribuição cumulativa $F$ a distribuição da mediana é:

$\binom{n-1}{(n-1)/2} F(x)^{\frac{n-1}2} f(x) (1-F(x))^{\frac{n-1}2}$

Você pode pesquisar no Google "distribuição de estatísticas de pedidos" para obter mais detalhes e derivação.

Para o normal, não temos uma solução de formulário fechado para , mas existem ferramentas computacionais que podem ajudar a estimar o acima (consulte o pacote distr para R para uma possibilidade).$F(x)$

Se seu objetivo principal é apenas uma estimativa da variação da mediana, uma abordagem mais simples é apenas simular um conjunto de conjuntos de dados e calcular a variação de suas medianas (e a variação de seus meios de comparação).

O artigo da Wikipedia sobre "Mediana" também possui informações que podem ser de interesse.