Estou enfrentando uma distribuição posterior em um aplicativo MCMC que visa amostrar uma variável não observável dada uma série observada .$x=\{x_t\}_{t=0}^{T}$$y=\{y_t\}^T_{t=0}$

No entanto, os posteriores condicionais são lidos como com sendo um vetor de parâmetros estruturais adicionais. De acordo com meu entendimento, isso seria um problema de suavização, pois o conhecimento de é necessário para inferir o valor de .

$$p(x_t | y_{t+1}, y_t, y_{t-1} ,x_{t-1}, x_{t+1}, \Theta),$$ $\Theta$$y_{t+1}$$x_t$

No entanto, os artigos que tratam do mesmo problema referem-se à série como série filtrada.$x$

Estou faltando alguma coisa aqui?

Eu acho que as definições podem ser diferentes, mas as definições padrão que eu uso são

• filtragem:$p(x_t|y_1,\ldots,y_t,\Theta)$
• suavização: para$p(x_t|y_1,\ldots,y_T,\Theta)$$0\le t<T$

Ou seja, a filtragem é a distribuição do estado atual, dada todas as observações até o tempo atual, inclusive, enquanto suavização é a distribuição de um estado (ou estados) passado, dado os dados até o tempo atual.

Para mim, nem filtragem nem suavização se referem a . Também estou supondo que você realmente queria que é a distribuição condicional completa de que alguns chamam de condicional posterior.$p(x_t|y_{t+1},y_t,y_{t-1},\Theta)$

$$p(x_t|x_{t+1},y_t,x_{t-1},\Theta) = p(x_t|y_1,\ldots,y_T,x_1,\ldots,x_{t-1},x_{t+1},\ldots,x_T,\theta)$$ $x_t$

Modelo original que você mencionou nos comentários da outra resposta: com . A referência à qual você vinculou também está vinculada ao final deste.

$$Y_{t+1} = Y_t + \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} \epsilon_{t+1}^y + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \sigma_v \sqrt{v_t\Delta}\epsilon_{t+1}^v$$ $\text{corr}(\epsilon_{t+1}^y,\epsilon_{t+1}^v) = \rho$

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Vamos chamar e com e normais padrão independentes. Fazendo as substituições que obtemos$\epsilon_{t+1}^y = e^1_{t+1}$$\epsilon_{t+1}^v = \rho e^1_{t+1} + \sqrt{(1-\rho^2)}e^2_{t+1}$$e^1_{t+1}$$e^2_{t+1}$

$$Y_{t+1} - Y_t = \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} e^1_{t+1} + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \sigma_v \sqrt{v_t\Delta}\left[\rho e^1_{t+1} + \sqrt{(1-\rho^2)}e^2_{t+1} \right]$$

Então vamos e . Eles dizem para fazer essa transformação na página 33.$\phi = \sigma_v \rho$$w_v = \sigma^2_v(1-\rho^2)$

$$Y_{t+1} - Y_t = \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} e^1_{t+1} + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \phi\sqrt{v_t\Delta} e^1_{t+1} + \sqrt{v_t\Delta}\sqrt{w_v}e^2_{t+1}$$

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Eles mencionam que . Após a transformação, na verdade, é para nós agora. Eles também descrevem posteriores para o seguinte (e eles devem fazer parte do vetor de estado em algum momento): , .$\Theta = \{\mu, \kappa, \theta, \sigma_v, \rho, \lambda_y, \mu_y, \sigma_y\}$$\Theta = \{\mu, \kappa, \theta, \phi, w_v, \lambda_y, \mu_y, \sigma_y\}$$\xi^y_{t+1}$ $N_{t+1}^y$$v_{t+1}$

Assim, poderíamos definir o vetor de estado e isso representaria um modelo de espaço de estado mais próximo do que a outra resposta estava falando. Mas provavelmente existem várias maneiras de fazer isso. No momento, não sei dizer se este artigo faz dessa maneira.

$$x_t = [v_{t+1}, v_t, \xi^y_{t+1} N_{t+1}^y]',$$

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Enfim, voltando à sua pergunta ... Não sei por que você rotulou tudo, porque isso dificulta o acompanhamento, mas você disse no comentário que está tentando chegar ao 'condicional posterior de . ' Se você quer dizer , isso é um marginal da distribuição de suavização que a outra resposta estava falando.$v_{t+1}$$p(v_{t+1}|y_{1:T}, \Theta)$$p(x_{t+1}|y_{1:T}, \Theta)$

Por outro lado, se você estava tentando obter amostras de então que a outra resposta também mencionou. Acho que isso é chamado de "amostrador de site único", talvez útil se você quiser obter o estilo Gibbs . Eu estou supondo que é isso que você quer, na verdade. Você obteria isso se usasse o vetor de estado na parte 2 e usasse o log retorna como as observações.$p(x_{t}|y_{1:T},x_{1:t-1},x_{t+1:T})$

$$\begin{align*} p(x_{t}|y_{1:T},x_{1:t-1},x_{t+1:T}) &\propto \prod_{t=2}^T p(y_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})p(y_1|x_1)p(x_1) \\ &\propto p(x_t|x_{t-1})p(y_t|x_t)p(x_{t+1}|x_t) \\ &\propto p(x_t|x_{t-1},x_{t+1},y_t) \end{align*}$$ $p(x_{1:T}|y_{1:T},\Theta)$$Y_{t+1} -Y_t$

Estou ecoando a outra resposta aqui: provavelmente é uma dessas duas coisas. Espero que isto ajude.

Referência: http://lib.dr.iastate.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1121&context=stat_las_preprints