Prove que não diminui para variáveis ​​aleatórias não negativas

Para uma variável aleatória não negativa , como provar que está diminuindo em ?$X$$E(X^n)^{\frac1n}$$n$

Escreva no lugar de para enfatizar que pode ser qualquer número real positivo, em vez de apenas um número inteiro, como sugerido por " ".$p$$n$$n$

Vamos passar por algumas transformações preliminares padrão para simplificar os cálculos subsequentes. Não faz diferença para o resultado a rescale . O resultado é trivial se for quase zero em todos os lugares, então suponha que seja diferente de zero, de onde também é diferente de zero para todos os . Agora corrija e divida por para que sem perda de generalidade.$X$$X$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X^p)$$p$$p$$X$$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

$$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$

Veja como o raciocínio pode prosseguir quando você tenta descobrir pela primeira vez e tenta não trabalhar muito. Deixarei justificativas detalhadas de cada etapa para você.

A expressão está diminuindo se e somente se seu logaritmo não está diminuindo. Esse log é diferenciável e, portanto, não diminui se e somente se sua derivada for não-negativa. Explorando podemos calcular (diferenciando dentro da expectativa) esse derivado como ( 1 $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$$(1)$

$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$

Escrevendo , o lado direito não é negativo se e somente se Mas isso é uma consequência imediata da desigualdade de Jensen aplicada à função (contínuo nos reais não negativos e diferenciável nos reais positivos), porque a diferenciação duas vezes mostra para , em que é uma função convexa nos reais não negativos, produzindoE ( Y log ( Y ) ) ≥ 0. f ( y ) = y log ( y ) f ′ ′ ( y ) = $Y=X^p$

$$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ $f(y) = y\log(y)$y>0 $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ $y\gt 0$$f$

$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$

QED .

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Editar

Edward Nelson fornece uma demonstração maravilhosamente sucinta. Por uma questão de notação (padrão), defina para (e ). Ao observar que a função é convexa, ele aplica a desigualdade de Jensen para concluir$||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$$1 \lt p \lt \infty$$||x||_\infty = \sup |x|$$f(x) = |x|^p$

$$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$$

Aqui está o resto da demonstração em suas próprias palavras:

Aplicado aisso fornece e aplicado a , onde , isso fornece modo que é uma função crescente de para .$|x|$

$$||x||_1 \le ||x||_p,$$ $|x|^r$$1 \le r \lt \infty$ $$||x||_r \le ||x||_{rp},$$ $||x||_p$$p$$1 \le p \le \infty$

Referência

Edward Nelson, teoria das probabilidades radicalmente elementares. Princeton University Press (1987): p. 5)