Por que a lei de grandes números não se aplica no caso do preço das ações da Apple?

Aqui está o artigo nos tempos de Nova York chamado "Apple confronta a lei dos grandes números" . Ele tenta explicar o aumento do preço das ações da Apple usando leis de grandes números. Quais erros estatísticos (ou matemáticos) são cometidos por este artigo?

— mpiktas
fonte

Encontrei este artigo no blog do @Epigrad: confounding.net/2012/03/12/12 .

— Mvctas 13/03/12

(+1) Obrigado por chamar a atenção para este artigo aqui.

— cardeal

Minha segunda resposta mais votada vem da pergunta sobre o artigo no NYTimes. Também queria saber como as outras pessoas responderiam a essa pergunta. Eu tenho uma resposta com uma perspectiva um pouco diferente da Epigrad, e me perguntei se alguém iria publicá-la.

— Mvctas 13/03/12

Respostas:

Aqui está o problema: a Apple é tão grande que está violando a lei de grandes números.

Também conhecido como teorema de ouro, com uma prova atribuída ao matemático suíço Jacob Bernoulli do século XVII, a lei afirma que uma variável reverterá para média em uma grande amostra de resultados. No caso das maiores empresas, sugere que o alto crescimento dos lucros e o rápido aumento do preço das ações diminuem à medida que essas empresas crescem cada vez mais.

Essa confusão confusa na verdade se refere a três fenômenos diferentes!

As (várias) Leis de Grandes Números são fundamentais na teoria das probabilidades para caracterizar situações em que é razoável esperar que grandes amostras forneçam informações cada vez melhores sobre um processo ou população sendo amostrada. De fato, Jacob Bernoulli foi o primeiro a reconhecer a necessidade de afirmar e provar tal teorema, que apareceu em seu póstumo Ars Conjectandi em 1713 (editado pelo sobrinho Nicholas Bernoulli).

Não há aplicação válida aparente dessa lei para o crescimento da Apple.
A regressão à média foi reconhecida pela primeira vez por Francis Galton na década de 1880. No entanto, muitas vezes tem sido subestimado entre analistas de negócios. Por exemplo, no início de 1933 (durante as profundezas de uma grande depressão), Horace Secrist publicou sua magnum opus, o triunfo da mediocridade nos negócios. Nele, ele examinou copiosamente as séries cronológicas dos negócios e encontrou, em todos os casos, evidências de regressão à média. Mas, ao não reconhecer isso como uma matemática matemática inelutávelfenômeno, ele sustentou que havia descoberto uma verdade básica do desenvolvimento de negócios! Essa falácia de confundir um padrão puramente matemático com o resultado de alguma força ou tendência subjacente (agora chamada de "falácia da regressão") lembra a passagem citada.

(Vale ressaltar que Secrist era um estatístico proeminente, autor de um dos livros didáticos de estatística mais populares publicados na época. No JSTOR, você pode encontrar uma revisão lacerante de Triumph ... por Harold Hotelling publicado na JASA no final de 1933. Em numa subsequente troca de cartas com a Secrist, Hotelling escreveu

Minha resenha ... foi principalmente dedicada a alertar os leitores a não concluírem que as empresas tendem a se tornar medíocres ... "Provar" esse resultado matemático por um estudo numérico caro e prolongado ... é análogo a provar a multiplicação organizando os elefantes em linhas e colunas e fazendo o mesmo para vários outros tipos de animais. A performance, embora talvez divertida e com certo valor pedagógico, não é uma contribuição importante nem para a zoologia nem para a matemática.

[Vol. JASA 29, nº 186 (junho de 1934), pp 198 e 199].)

A passagem do NY Times parece cometer o mesmo erro com os dados comerciais da Apple.
Se continuarmos lendo o artigo, logo descobriremos o significado pretendido do autor:

Se o preço das ações da Apple crescesse 20% ao ano na próxima década, muito abaixo do ritmo atual, sua capitalização de mercado de US $ 500 bilhões seria superior a US $ 3 trilhões em 2022.

Esta, é claro, é uma afirmação sobre extrapolação do crescimento exponencial. Como tal, contém ecos das previsões da população malthusiana . Os riscos da extrapolação não se limitam ao crescimento exponencial, no entanto. Mark Twain (Samuel Clements) extrapoladores devassos com pilhagem em Life on the Mississippi (1883, capítulo 17):

Agora, se eu quisesse ser uma dessas pessoas científicas ponderadas, e 'deixar transparecer' para provar ... o que acontecerá no futuro distante pelo que ocorreu nos últimos anos, que oportunidade está aqui! ... Observe: -

No espaço de cento e setenta e seis anos, o Baixo Mississippi se encurtou duzentos e quarenta e dois quilômetros. Isso é uma média de pouco mais de uma milha e um terço por ano. Portanto, qualquer pessoa calma, que não seja cega ou idiota, pode ver que, no "Antigo Período Oolítico Siluriano", há apenas um milhão de anos atrás, em novembro próximo, o rio Baixo Mississippi tinha mais de um milhão e trezentos mil quilômetros de comprimento e ficou preso. sobre o Golfo do México como uma vara de pescar. Da mesma forma, qualquer pessoa pode ver que setecentos e quarenta e dois anos a partir de agora o Baixo Mississipi terá apenas uma milha e três quartos de comprimento, e o Cairo e Nova Orleans terão juntado suas ruas e estarão caminhando confortavelmente sob uma prefeito único e um conselho mútuo de vereadores. Há algo fascinante na ciência.Obtém-se tais retornos por atacado de conjecturas com um investimento de fato tão insignificante. "

(Ênfase adicionada.) A sátira de Twain se compara favoravelmente à citação do artigo do analista de negócios Robert Cihra:

Se você extrapolar o suficiente para o futuro, para sustentar esse crescimento, a Apple teria que vender um iPhone para todos os homens, mulheres, crianças, animais e rochas do planeta.

(Infelizmente, parece que Cihra não dá ouvidos a seus próprios conselhos: ele classifica essas ações como uma "compra". Ele pode estar certo, não pelos méritos, mas em virtude da maior teoria dos tolos .)

Se considerarmos o artigo como "cuidado com a extrapolação de crescimento anterior para o futuro", obteremos muito disso. Os investidores que pensam que esta empresa é uma boa compra porque seu índice de PE é baixo (o que inclui vários dos notáveis gerentes de dinheiro citados no artigo) não são melhores do que as "pessoas científicas ponderadas" que Twain espetou há um século.

Um melhor conhecimento de Bernoulli, Hotelling e Twain teria melhorado a precisão e a legibilidade deste artigo, mas no final parece ter entendido a mensagem corretamente.

— whuber
fonte

Esse foi o meu principal argumento. O autor do artigo não está errado . Sua justificativa "porque matemática", por outro lado, está muito fora da base.

— fomite

que resposta agradável e bem equilibrada! Eu quero dar a 100 notas #

— Siddharth Gopi

Bem humorado, acabei de escrever um post sobre este assunto: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Essencialmente, a Lei dos Grandes Números é que, à medida que o número de tentativas de um processo aleatório aumenta, a média dessas tentativas se aproxima da média real (ou expectativa, para distribuições mais complexas). Assim, se você atirar uma moeda uma vez e receber cara, sua probabilidade é de cara = 1,0, conforme você joga mais e mais moedas, você vai se aproximar cada vez mais de 0,50.

O autor argumenta que a Apple terá problemas no futuro devido a algo que não está realmente relacionado à Lei dos Grandes Números. Ou seja, à medida que a Apple cresce, o mesmo aumento de% no preço das ações, ganhos etc. fica mais difícil de alcançar em termos absolutos em dólar. Basicamente, para manter o rumo, a Apple precisa obter hits cada vez maiores.

Vincular isso ao comportamento de um processo aleatório convergindo para uma média requer alguma ginástica mental séria . Tanto quanto posso dizer, a afirmação é de que "A grandiosidade de seus produtos" é um processo aleatório e, embora a Apple tenha uma série de impressionantes "Acima da média", elas eventualmente terão que convergir para uma média de "Middling" " Mas isso é realmente caridoso com o autor.

Só porque 500 bilhões é um número grande, não significa que a "Lei dos Grandes Números" é o que está atuando nela.

— Fomite
fonte

(+1) No começo, quando comecei a ler o artigo, pensei que talvez o autor estivesse confundindo a lei dos grandes números com a regressão à média . Então, cheguei ao parágrafo que começa com "Também conhecido como teorema de ouro ...". É como alguém que vasculhou The Drunkard's Walk, de L. Mlodinow : Como a aleatoriedade governa nossas vidas (uma leitura interessante) e depois pensou que sabia alguma coisa.

— cardeal

"A grandiosidade de seus produtos" como um processo aleatório, posso sentir um novo ramo de estatísticas sendo criado agora.

— asjohnson

O blog de Andrew Gelman também tem uma discussão. andrewgelman.com/2012/02/…

— zbicyclist 14/03

Não há razão para pensar que o preço das ações ao longo do tempo para uma determinada empresa represente variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

— Dimitriy V. Masterov
fonte

Bem, sim, mas sua suposição pode ser consideravelmente relaxada para que eu possa aguentar.

— Mvctas 13/03/12

Mas você ainda precisa de independência, o que não faz sentido ao falar sobre o DGP do preço das ações, a menos que você veja as finanças como um caso especial de roleta. Mas, nesse caso, certamente a regressão à média seria o conceito mais útil, não o LLN. Também não está claro para mim a que processo aleatório o LLN se aplica. É o preço em si, a mudança de preço ou a capitalização de mercado da Apple? Finalmente, não tenho certeza se o valor esperado para o qual a amostra supostamente converge ao longo do tempo é realmente significativo em qualquer um dos três casos acima.

— Dimitriy V. Masterov 13/03/2012

Dimitriy, suas observações são bem tomadas. Note, no entanto, que o artigo (por mais absurdo que seja) se refere ao trabalho de Bernoulli, que é o WLLN. Assim, por exemplo, podemos nos dar bem com variáveis aleatórias não correlacionadas, e não independentes, e, de fato, até uma correlação moderada, desde que ela não cresça muito rápido em função do número de variáveis.

— cardeal

@ cardinal: Olhei para a definição em mathworld.wolfram.com/WeakLawofLargeNumbers.html (também conhecido como Teorema de Bernoulli) antes de postar isso, que foi

i i d

$iid$ como uma suposição. Isso concorda com a definição de WLLN da Casella & Berger. Mas você certamente está correto. Você pode relaxar isso em momentos finitos para

x_{i}

$x_{i}$ e não muita dependência para que os componentes aleatórios sejam cancelados. A independência é muito forte.

— Dimitriy V. Masterov 13/03/12

Sim, se alguém quer ser um pouco ingrato com Bernoulli, pode observar que o WLLN é essencialmente uma aplicação direta da desigualdade de Chebyshev, desde que todos

X_{i} \in L_{2}

$X_i \in L_2$ . Então, vê-se que, enquanto

V a r (S_{n}) = o (n^{2})

$\mathrm{Var}(S_n) = o(n^2)$ , tudo dá certo. Isso nem sequer requer os meios ou variações do

X_{i}

$X_i$ ser constante se interpretarmos a declaração de interesse relevante como

{\bar{X}}_{n} - {\bar{μ}}_{n} \to 0

$\bar X_n - \bar{\mu}_n \to 0$ em probabilidade. Obviamente, existem formas mais gerais até do WLLN. (+1, por sinal.)

— cardeal